پس از یادگیری پیشروی حسابی، اجازه دهید پیشرفت هندسی را یاد بگیریم، که به عنوان دنباله هندسی نیز شناخته می شود.
پیشرفت هندسی (GP) دنباله ای است که در آن نسبت هر عبارت به پیشینیان آن همیشه یک عدد است که ثابت است. نسبت را نسبت مشترک می نامند. اگر "a" اولین جمله و "r" نسبت مشترک در یک پیشروی هندسی باشد، پس پیشرفت هندسی استاندارد a، ar، ar 2 ، …
مثال ها:
(i) 1، 3، 9، 27، 81، …
نسبت مشترک \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
نسبت مشترک \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
اگر a اولین جمله باشد، نسبت مشترک r و تعداد جمله n است
t 1 (ترم اول) = a⋅r 1-1 = a
t 2 (ترم دوم) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (ترم سوم) = a⋅r 3− 1 = ar 2
از این رو،
| n ترم پیشرفت هندسی ، t n = ar n - 1 |
سوال 1: تعیین کنید که آیا دنباله 0.2، 0.02، 0.002، 0.0002، ... هندسی است یا خیر.
راه‌حل: عبارت‌ها را بر اساس پیشینشان تقسیم کنید و بررسی کنید که آیا نسبت مشترکی وجود دارد یا خیر.
0.02 ÷ 0.2 = 0.1، .002 ÷ 0.02 = 0.1، 0.0002 ÷ 0.002 = .1
از آنجایی که آنها نسبت مشترک = 0.1 دارند، بنابراین این دنباله یک پیشرفت هندسی است.
سوال 2: ترم ششم پیشرفت هندسی 3، 15، 75، 375، ... را بیابید.
راه حل: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
سوال 3: n ترم پیشرفت هندسی 3⋅2 n− 1 است، جمله اول و دوم را پیدا کنید.
راه حل: t 1 = 3⋅2 0 = 3، t 2 = 3⋅2 2-1 = 6
اگر a اولین جمله باشد، r نسبت مشترک و S n مجموع n جمله پیشرفت هندسی است، سپس
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n - 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) ، وقتی r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) ، وقتی r < 1 |
سوال 1: مجموع تصاعد هندسی، 3، -6، 12، -24، 48، ... تا 10 عبارت را بیابید.
راه حل: جیره مشترک = -6/3 = -2
به عنوان r < 1، بنابراین \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
میانگین هندسی دو عدد مثبت a و b عدد \(\sqrt {ab}\) است. بنابراین میانگین هندسی 8 و 32 \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\) است.
آیا توجه کرده اید که سه عدد 8، 16 و 32 سه ترم متوالی از پیشرفت هندسی هستند. بنابراین میانگین هندسی راهی برای یافتن یک مقدار در بین مقادیر بسیار متفاوت به ما می دهد. برای یافتن میانگین هندسی n عدد، تمام n عدد را ضرب کرده و ریشه n ام را بگیرید. از این رو،
میانگین هندسی n عدد a 1 تا a n است: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
میانگین هندسی 3، 27 برابر با 9 است، یعنی مساحت مستطیل اضلاع 3 و 27 برابر است با مساحت مربع ضلع 9. 
سوال: میانگین هندسی 4، 10، 12، 20، 24 را بیابید.
راه حل: میانگین هندسی = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
میانگین هندسی = 11.816
