Après avoir appris la progression arithmétique, apprenons la progression géométrique, également connue sous le nom de séquence géométrique.
La progression géométrique (GP) est une séquence dans laquelle le rapport d'un terme à ses prédécesseurs est toujours le même nombre, qui est constant. Le rapport est appelé raison commune . Si 'a' désigne le premier terme et 'r' la raison dans une progression géométrique alors la progression géométrique standard est a, ar, ar 2 , …
Exemples:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
raison \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Rapport commun \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Si a est le premier terme, la raison est r et le nombre de termes est n alors
t 1 (premier terme) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (deuxième terme) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (troisième terme) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Donc,
| n ième terme de la progression géométrique , t n = ar n − 1 |
Question 1 : Déterminer si la suite 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... est géométrique ou non.
Solution : divisez les termes par leur prédécesseur et vérifiez s'il existe une raison commune.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Comme ils ont une raison = 0,1, cette séquence est donc une progression géométrique.
Question 2 : Trouvez le 6 ème terme de la progression géométrique 3, 15, 75, 375, ...
Solution : t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Question 3 : le n ème terme de la progression géométrique est 3⋅2 n− 1 , trouvez le premier et le deuxième terme.
Solution : t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Si a est le premier terme, r est la raison et S n est la somme de n termes de la progression géométrique, alors
S n = une + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , lorsque r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , lorsque r < 1 |
Question 1 : Trouver la somme de la progression géométrique, 3, -6, 12, -24, 48, ... à 10 termes
Solution : Ration commune = -6/3 = -2
comme r < 1, donc \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est le nombre \(\sqrt {ab}\) . Par conséquent, la moyenne géométrique de 8 et 32 est \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Avez-vous remarqué que les trois nombres 8, 16 et 32 sont trois termes consécutifs de progression géométrique. Ainsi, la moyenne géométrique nous donne un moyen de trouver une valeur entre des valeurs très différentes. Pour trouver la moyenne géométrique de n nombres, multipliez tous les n nombres et prenez la n ème racine. Donc,
La moyenne géométrique de n nombres a 1 à a n est : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
La moyenne géométrique de 3, 27 est 9, ce qui signifie que l'aire d'un rectangle de côtés 3 et 27 est la même que l'aire d'un carré de côté 9. 
Question : Trouvez la moyenne géométrique de 4, 10, 12, 20, 24
Solution : Moyenne géométrique = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Moyenne géométrique = 11,816
