अंकगणितीय प्रगति सीखने के बाद आइए ज्यामितीय प्रगति सीखें, जिसे ज्यामितीय अनुक्रम के रूप में भी जाना जाता है।
ज्यामितीय प्रगति (GP) एक अनुक्रम है जिसमें किसी भी पद का उसके पूर्ववर्तियों से अनुपात हमेशा एक ही संख्या होता है, जो स्थिर होता है। अनुपात को सामान्य अनुपात कहा जाता है। यदि 'ए' पहले पद को दर्शाता है और 'आर' ज्यामितीय प्रगति में सामान्य अनुपात को दर्शाता है तो मानक ज्यामितीय प्रगति ए, एआर, एआर 2 , ... है
उदाहरण:
(i) 1, 3, 9, 27, 81,…
सामान्य अनुपात \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
सामान्य \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
यदि a पहला पद है, तो उभयनिष्ठ अनुपात r है और पदों की संख्या n है
t 1 (प्रथम पद) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (दूसरा पद) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (तीसरा पद) = a⋅r 3− 1 = ar 2
इसलिए,
| n ज्यामितीय प्रगति का वां पद , t n = ar n - 1 |
प्रश्न 1: निर्धारित करें कि अनुक्रम 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... ज्यामितीय है या नहीं।
समाधान: पदों को उनके पूर्ववर्ती से विभाजित करें और जांचें कि क्या एक सामान्य अनुपात मौजूद है।
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
चूँकि उनका उभयनिष्ठ अनुपात = 0.1 है, इसलिए यह क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है।
प्रश्न 2: गुणोत्तर श्रेणी 3, 15, 75, 375,... का छठा पद ज्ञात कीजिए।
समाधान: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
प्रश्न 3: n गुणोत्तर अनुक्रम का वां पद 3⋅2 n− 1 है, पहला और दूसरा पद ज्ञात कीजिए।
समाधान: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
यदि a पहला पद है, r सामान्य अनुपात है और S n ज्यामितीय प्रगति के n पदों का योग है, तो
एस एन = ए + एआर + एआर 2 + एआर 3 + … + एआर एन − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , जब r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , जब r < 1 |
प्रश्न 1: ज्यामितीय प्रगति, 3, -6, 12, -24, 48, ... से 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए
समाधान: सामान्य राशन = -6/3 = -2
चूँकि r < 1, इसलिए \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
दो धनात्मक संख्याओं a और b का ज्यामितीय माध्य संख्या \(\sqrt {ab}\) है। इसलिए 8 और 32 का ज्यामितीय माध्य \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\) है
क्या आपने देखा कि तीन संख्याएँ 8, 16, और 32 ज्यामितीय प्रगति के तीन लगातार पद हैं। तो ज्यामितीय माध्य हमें व्यापक रूप से भिन्न मूल्यों के बीच मूल्य खोजने का एक तरीका देता है। n संख्याओं का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, सभी n संख्याओं को गुणा करें और n वाँ मूल लें। इसलिए,
a 1 से a n तक की n संख्याओं का ज्यामितीय माध्य है: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3, 27 का ज्यामितीय माध्य 9 है, जिसका अर्थ है कि 3 और 27 भुजाओं वाले एक आयत का क्षेत्रफल 9 भुजाओं वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के समान है। 
प्रश्न: 4, 10, 12, 20, 24 का ज्यामितीय माध्य ज्ञात कीजिए
समाधान: ज्यामितीय माध्य = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
ज्यामितीय माध्य = 11.816
