Nakon što smo naučili aritmetičku progresiju, naučimo geometrijsku progresiju, koja je također poznata kao geometrijski niz.
Geometrijska progresija (GP) je niz u kojem je omjer bilo kojeg člana prema njegovim prethodnicima uvijek isti broj, koji je konstantan. Omjer se naziva uobičajeni omjer . Ako 'a' označava prvi član, a 'r' uobičajeni omjer u geometrijskoj progresiji, tada je standardna geometrijska progresija a, ar, ar 2 , …
Primjeri:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
zajednički omjer \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Uobičajeni omjer \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Ako je a prvi član, uobičajeni omjer je r, a broj člana je tada n
t 1 (prvi član) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (drugi član) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (treći član) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Stoga,
| n- ti član geometrijske progresije , t n = ar n − 1 |
Pitanje 1: Odredite je li niz 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... geometrijski ili nije.
Rješenje: Podijelite članove njihovim prethodnicima i provjerite postoji li zajednički omjer.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Kako im je zajednički omjer = 0,1, stoga je ovaj niz geometrijska progresija.
Pitanje 2: Pronađite 6. član geometrijske progresije 3, 15, 75, 375, ...
Rješenje: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
3. pitanje: n- ti član geometrijske progresije je 3⋅2 n− 1 , pronađite prvi i drugi član.
Rješenje: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Ako je a prvi član, r je zajednički omjer i S n je zbroj n članova geometrijske progresije, tada
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , kada je r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , kada je r < 1 |
Pitanje 1: Nađite zbroj geometrijske progresije, 3, -6, 12, -24, 48, ... do 10 članova
Rješenje: Uobičajeni omjer = -6/3 = -2
kao r < 1, dakle \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Geometrijska sredina dvaju pozitivnih brojeva a i b je broj \(\sqrt {ab}\) . Stoga je geometrijska sredina 8 i 32 \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Jeste li primijetili da su tri broja 8, 16 i 32 tri uzastopna člana geometrijske progresije. Dakle, geometrijska sredina daje nam način da pronađemo vrijednost između vrlo različitih vrijednosti. Da biste pronašli geometrijsku sredinu n brojeva, pomnožite svih n brojeva i izvadite n- ti korijen. Stoga,
Geometrijska sredina n brojeva a 1 do a n je: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Geometrijska sredina od 3, 27 je 9, što znači da je površina pravokutnika sa stranicama 3 i 27 ista kao površina kvadrata sa stranicama 9. 
Pitanje: Nađite geometrijsku sredinu od 4, 10, 12, 20, 24
Rješenje: Geometrijska sredina = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometrijska sredina = 11,816
