Dopo aver imparato la progressione aritmetica, impariamo la progressione geometrica, nota anche come sequenza geometrica.
La progressione geometrica (GP) è una sequenza in cui il rapporto tra qualsiasi termine e i suoi predecessori è sempre lo stesso numero, che è costante. Il rapporto è chiamato rapporto comune . Se 'a' denota il primo termine e 'r' il rapporto comune in una progressione geometrica, allora la progressione geometrica standard è a, ar, ar 2 , …
Esempi:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
rapporto comune \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Rapporto comune \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Se a è il primo termine, il rapporto comune è r e il numero dei termini è n
t 1 (primo termine) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (secondo termine) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (terzo termine) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Perciò,
| n -esimo termine della progressione geometrica , t n = ar n − 1 |
Domanda 1: Determina se la sequenza 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... è geometrica o meno.
Soluzione: dividere i termini in base al loro predecessore e verificare se esiste un rapporto comune.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Poiché hanno rapporto comune = 0,1, quindi questa sequenza è una progressione geometrica.
Domanda 2: Trova il 6 ° termine della progressione geometrica 3, 15, 75, 375, ...
Soluzione: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Domanda 3: l'n- esimo termine della progressione geometrica è 3⋅2 n− 1 , trova il primo e il secondo termine.
Soluzione: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Se a è il primo termine, r è il rapporto comune e S n è la somma di n termini della progressione geometrica, allora
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , quando r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , quando r < 1 |
Domanda 1: Trova la somma della progressione geometrica, 3, -6, 12, -24, 48, ... fino a 10 termini
Soluzione: Razione comune = -6/3 = -2
poiché r < 1, quindi \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
La media geometrica di due numeri positivi aeb è il numero \(\sqrt {ab}\) . Pertanto la media geometrica di 8 e 32 è \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Hai notato che i tre numeri 8, 16 e 32 sono tre termini consecutivi di progressione geometrica. Quindi la media geometrica ci dà un modo per trovare un valore tra valori molto diversi. Per trovare la media geometrica di n numeri, moltiplica tutti gli n numeri e prendi la radice n -esima . Perciò,
La media geometrica di n numeri da a 1 a a n è: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
La media geometrica di 3,27 è 9, il che significa che l'area di un rettangolo di lati 3 e 27 è uguale all'area di un quadrato di lato 9. 
Domanda: Trova la media geometrica di 4, 10, 12, 20, 24
Soluzione: Media geometrica = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Media geometrica = 11.816
