等差数列を学んだ後は、等比数列とも呼ばれる等差数列を学びましょう。
等比数列(GP)は、任意の項とその先行項の比率が常に同じ数値、つまり一定である数列です。この比は公比と呼ばれます。 「a」が等比数列の第 1 項、「r」が公比を表す場合、標準等比数列は a、ar、ar 2 、…となります。
例:
(i) 1、3、9、27、81、…
公比\(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
公差\(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
a が最初の項、公比が r、項の数が n の場合、
t 1 (第 1 項) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (第 2 項) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (第 3 項) = a⋅r 3− 1 = ar 2
したがって、
| 等比数列の n番目の項、 t n = ar n − 1 |
質問 1:シーケンス 0.2、0.02、0.002、0.0002、... が幾何学的であるかどうかを判断してください。
解決策:用語をその前の用語で分割し、公比が存在するかどうかを確認します。
.02 ÷ 0.2 = 0.1、.002 ÷ 0.02 = 0.1、.0002 ÷ 0.002 = .1
公比 = 0.1 であるため、この数列は等比級数になります。
質問 2:等比数列 3、15、75、375、... の第 6項を求めてください。
解: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
質問 3:等比数列の n番目の項は 3⋅2 n− 1です。第 1 項と第 2 項を求めてください。
解: t 1 = 3⋅2 0 = 3、t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
a が最初の項、r が公比、S nが等比数列の n 項の和である場合、
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) 、r > 1 の場合 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) 、r < 1 の場合 |
質問 1:等比級数 3、-6、12、-24、48、... から 10 項までの和を求めてください。
解決策:共通比率 = -6/3 = -2
r < 1 なので、 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
2 つの正の数 a と b の幾何平均は、数値\(\sqrt {ab}\)です。したがって、8 と 32 の幾何平均は\(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)となります。
8、16、32 という 3 つの数字が等比数列の連続する 3 項であることに気づきましたか。したがって、幾何平均は、大きく異なる値の間の値を見つける方法を提供します。 n 個の数値の幾何平均を求めるには、すべての n 個の数値を掛けて、n乗根を求めます。したがって、
n 個の数値 a 1から a nの幾何平均は次のようになります: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3、27 の幾何平均は 9 です。これは、辺 3 と辺 27 からなる長方形の面積が辺 9 の正方形の面積と同じであることを意味します。 
問題: 4、10、12、20、24 の幾何平均を求めます。
解:幾何平均= \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
幾何平均 = 11.816
