Откако ќе ја научиме аритметичката прогресија, да ја научиме геометриската прогресија, која е позната и како геометриска низа.
Геометриската прогресија (GP) е низа во која односот на кој било член со неговите претходници е секогаш ист број, кој е константен. Односот се нарекува заеднички сооднос . Ако „a“ го означува првиот член и „r“ заедничкиот однос во геометриска прогресија, тогаш стандардната геометриска прогресија е a, ar, ar 2 , …
Примери:
(з) 1, 3, 9, 27, 81, …
заеднички сооднос \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Заеднички сооднос \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Ако a е првиот член, заедничкиот однос е r, а бројот на членот е n тогаш
t 1 (прв член) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (втор член) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (трет член) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Затоа,
| n- ти член на геометриска прогресија , t n = ar n − 1 |
Прашање 1: Определи дали низата 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... е геометриска или не.
Решение: Поделете ги поимите по нивниот претходник и проверете дали постои заеднички сооднос.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Бидејќи тие имаат заеднички однос = 0,1, затоа оваа низа е геометриска прогресија.
Прашање 2: Најдете го шестиот член од геометриската прогресија 3, 15, 75, 375, ...
Решение: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Прашање 3: n- тиот член на геометриската прогресија е 3⋅2 n− 1 , најдете го првиот и вториот член.
Решение: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Ако a е првиот член, r е заеднички однос и S n е збир од n членови на геометриската прогресија, тогаш
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , кога r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , кога r < 1 |
Прашање 1: Најдете го збирот на геометриската прогресија, 3, -6, 12, -24, 48, ... до 10 члена
Решение: Заедничка дажба = -6/3 = -2
како r < 1, затоа \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Геометриската средина на два позитивни броја a и b е бројот \(\sqrt {ab}\) . Затоа, геометриската средина на 8 и 32 е \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Дали забележавте дека трите броеви 8, 16 и 32 се три последователни члена на геометриска прогресија. Значи, геометриската средина ни дава начин да најдеме вредност помеѓу многу различни вредности. За да ја пронајдете геометриската средина на n броеви, помножете ги сите n броеви и земете го n- тиот корен. Затоа,
Геометриската средина на n броеви од a 1 до a n е: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Геометриската средина на 3, 27 е 9, што значи дека плоштината на правоаголникот од страните 3 и 27 е иста со плоштината на квадрат од страната 9. 
Прашање: Најдете ја геометриската средина на 4, 10, 12, 20, 24
Решение: геометриска средина = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Геометриска средина = 11.816
