अंकगणित प्रगति सिकिसकेपछि ज्यामितीय प्रगति सिकौं, जसलाई ज्यामितीय अनुक्रम पनि भनिन्छ।
ज्यामितीय प्रगति (GP) एक अनुक्रम हो जसमा कुनै पनि पदको यसको पूर्ववर्तीहरूको अनुपात सधैं समान संख्या हुन्छ, जुन स्थिर हुन्छ। अनुपातलाई सामान्य अनुपात भनिन्छ। यदि 'a' ले पहिलो पद र 'r' लाई ज्यामितीय प्रगतिमा सामान्य अनुपात जनाउँछ भने मानक ज्यामितीय प्रगति a, ar, ar 2 , …
उदाहरणहरू:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
सामान्य अनुपात \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
सामान्य अनुपात \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
यदि a पहिलो पद हो भने, सामान्य अनुपात r हो र पदको संख्या n हो
t 1 (पहिलो पद) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (दोस्रो पद) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (तेस्रो पद) = a⋅r 3− 1 = ar 2
त्यसैले,
| ज्यामितीय प्रगतिको n औं पद , t n = ar n − 1 |
प्रश्न 1: क्रम 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... ज्यामितीय हो वा होइन भनेर निर्धारण गर्नुहोस्।
समाधान: सर्तहरूलाई तिनीहरूको पूर्ववर्तीद्वारा विभाजित गर्नुहोस् र एक सामान्य अनुपात अवस्थित छ कि छैन जाँच गर्नुहोस्।
.02 ÷ 0.2 = 0.1, 002 ÷ 0.02 = 0.1, 0002 ÷ 0.002 = .1
तिनीहरूसँग सामान्य अनुपात = ०.१ छ, त्यसैले यो अनुक्रम ज्यामितीय प्रगति हो।
प्रश्न 2: ज्यामितीय प्रगति 3, 15, 75, 375, ... को 6 औं पद पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
प्रश्न ३: ज्यामितीय प्रगतिको n औं पद 3⋅2 n− 1 हो, पहिलो र दोस्रो पद पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
यदि a पहिलो पद हो भने, r सामान्य अनुपात हो र S n ज्यामितीय प्रगतिको n सर्तहरूको योग हो, त्यसपछि
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , जब r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , जब r < 1 |
प्रश्न 1: ज्यामितीय प्रगतिको योगफल पत्ता लगाउनुहोस्, 3, -6, 12, -24, 48, ... देखि 10 सर्तहरू
समाधान: सामान्य राशन = -6/3 = -2
r < 1 को रूपमा, त्यसैले \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
दुई सकारात्मक संख्या a र b को ज्यामितीय माध्य संख्या \(\sqrt {ab}\) हो। त्यसैले ८ र ३२ को ज्यामितीय माध्य \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
के तपाईंले याद गर्नुभयो कि तीन अंक 8, 16, र 32 ज्यामितीय प्रगतिको तीन लगातार सर्तहरू हुन्। त्यसैले ज्यामितीय माध्यले हामीलाई व्यापक रूपमा फरक मानहरू बीचको मूल्य पत्ता लगाउने तरिका दिन्छ। n संख्याहरूको ज्यामितीय माध्य पत्ता लगाउन, सबै n संख्याहरूलाई गुणन गर्नुहोस् र n औं मूल लिनुहोस्। त्यसैले,
n संख्याहरू a 1 देखि a n को ज्यामितीय माध्य: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3, 27 को ज्यामितीय माध्य 9 हो, जसको अर्थ पक्ष 3 र 27 को आयतको क्षेत्रफल 9 को वर्गको क्षेत्रफल बराबर हो। 
प्रश्न: 4, 10, 12, 20, 24 को ज्यामितीय माध्य पत्ता लगाउनुहोस्
समाधान: ज्यामितीय माध्य = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
ज्यामितीय औसत = 11.816
