Nadat we de rekenkundige progressie hebben geleerd, leren we de geometrische progressie, ook wel een geometrische reeks genoemd.
Geometrische progressie (GP) is een reeks waarin de verhouding van elke term tot zijn voorgangers altijd hetzelfde getal is, dat constant is. De verhouding wordt de gemeenschappelijke verhouding genoemd. Als 'a' de eerste term aangeeft en 'r' de gemeenschappelijke verhouding in een geometrische progressie, dan is de standaard geometrische progressie a, ar, ar 2 , ...
Voorbeelden:
(ik) 1, 3, 9, 27, 81, …
gemeenschappelijke verhouding \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Gemeenschappelijke verhouding \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Als a de eerste term is, is de gemeenschappelijke verhouding r en is het aantal termen dan n
t 1 (eerste term) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (tweede term) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (derde term) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Daarom,
| n- de term van geometrische progressie , t n = ar n − 1 |
Vraag 1: Bepaal of de reeks 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... geometrisch is of niet.
Oplossing: Verdeel de termen door hun voorganger en controleer of er een gemeenschappelijke verhouding bestaat.
.02 lbs 0,2 = 0,1, 0,002 lbs 0,02 = 0,1, 0,0002 lbs 0,002 = 0,1
Omdat ze een gemeenschappelijke verhouding = 0,1 hebben, is deze reeks een geometrische progressie.
Vraag 2: Vind de 6e term van geometrische progressie 3, 15, 75, 375, ...
Oplossing: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Vraag 3: n- de term van geometrische progressie is 3⋅2 n− 1 , zoek de eerste en tweede term.
Oplossing: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Als a de eerste term is, r de gemeenschappelijke verhouding is en S n de som is van n termen van de geometrische progressie, dan
S n = een + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , wanneer r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , wanneer r < 1 |
Vraag 1: Vind de som van de geometrische progressie, 3, -6, 12, -24, 48, ... tot 10 termen
Oplossing: Gemeenschappelijk rantsoen = -6/3 = -2
als r < 1, dus \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Het geometrische gemiddelde van twee positieve getallen a en b is het getal \(\sqrt {ab}\) . Daarom is het geometrische gemiddelde van 8 en 32 \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Is het je opgevallen dat de drie getallen 8, 16 en 32 drie opeenvolgende termen van geometrische progressie zijn? Het geometrische gemiddelde geeft ons dus een manier om een waarde te vinden tussen zeer verschillende waarden. Om het geometrische gemiddelde van n getallen te vinden, vermenigvuldig je alle n getallen en neem je de n -de wortel. Daarom,
Geometrisch gemiddelde van n getallen a 1 tot en met a n is: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Het geometrische gemiddelde van 3, 27 is 9, wat betekent dat de oppervlakte van een rechthoek met zijden 3 en 27 hetzelfde is als de oppervlakte van een vierkant met zijde 9. 
Vraag: Vind het geometrische gemiddelde van 4, 10, 12, 20, 24
Oplossing: Geometrisch gemiddelde = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometrisch gemiddelde = 11,816
