Po zapoznaniu się z postępem arytmetycznym przyjrzyjmy się postępowi geometrycznemu, zwanemu także ciągiem geometrycznym.
Postęp geometryczny (GP) to ciąg, w którym stosunek dowolnego wyrazu do jego poprzedników jest zawsze tą samą liczbą, czyli stałą. Stosunek nazywa się wspólnym stosunkiem . Jeśli „a” oznacza pierwszy wyraz, a „r” wspólny stosunek w postępie geometrycznym, to standardowy postęp geometryczny to a, ar, ar 2 , …
Przykłady:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
wspólny stosunek \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Wspólny współczynnik \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Jeśli a jest pierwszym wyrazem, wspólny stosunek wynosi r, a liczba wyrazów wynosi n
t 1 (pierwszy wyraz) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (drugi wyraz) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (trzeci wyraz) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Dlatego,
| n- ty wyraz postępu geometrycznego , t n = ar n - 1 |
Pytanie 1: Określ, czy ciąg 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... jest geometryczny czy nie.
Rozwiązanie: Podziel wyrazy przez ich poprzedników i sprawdź, czy istnieje wspólny stosunek.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Ponieważ mają one wspólny stosunek = 0,1, zatem ciąg ten jest postępem geometrycznym.
Pytanie 2: Znajdź szósty wyraz postępu geometrycznego 3, 15, 75, 375, ...
Rozwiązanie: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Pytanie 3: n- ty wyraz postępu geometrycznego to 3⋅2 n− 1 , znajdź pierwszy i drugi wyraz.
Rozwiązanie: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Jeśli a jest pierwszym wyrazem, r jest wspólnym stosunkiem, a S n jest sumą n wyrazów postępu geometrycznego, to
S n = za + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n - 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , gdy r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , gdy r < 1 |
Pytanie 1: Znajdź sumę postępu geometrycznego, 3, -6, 12, -24, 48, ... do 10 wyrazów
Rozwiązanie: Wspólna racja = -6/3 = -2
ponieważ r < 1, zatem \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich a i b to liczba \(\sqrt {ab}\) . Zatem średnia geometryczna liczb 8 i 32 wynosi \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Czy zauważyłeś, że trzy liczby 8, 16 i 32 to trzy kolejne wyrazy postępu geometrycznego? Zatem średnia geometryczna pozwala nam znaleźć wartość pomiędzy bardzo różnymi wartościami. Aby znaleźć średnią geometryczną n liczb, pomnóż wszystkie n liczb i weź n- ty pierwiastek. Dlatego,
Średnia geometryczna n liczb od a 1 do a n wynosi: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Średnia geometryczna liczby 3, 27 wynosi 9, co oznacza, że pole prostokąta o bokach 3 i 27 jest takie samo jak pole kwadratu o boku 9. 
Pytanie: Znajdź średnią geometryczną liczb 4, 10, 12, 20, 24
Rozwiązanie: Średnia geometryczna = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Średnia geometryczna = 11,816
