Depois de aprender a progressão aritmética, vamos aprender a progressão geométrica, também conhecida como sequência geométrica.
A progressão geométrica (GP) é uma sequência em que a razão de qualquer termo para seus antecessores é sempre o mesmo número, que é constante. A proporção é chamada de proporção comum . Se 'a' denota o primeiro termo e 'r' a razão comum em uma progressão geométrica, então a progressão geométrica padrão é a, ar, ar 2 , …
Exemplos:
(eu) 1, 3, 9, 27, 81,…
razão comum \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Razão Comum \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Se a for o primeiro termo, a razão comum é r e o número do termo é n, então
t 1 (primeiro termo) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (segundo termo) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (terceiro termo) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Portanto,
| n- ésimo termo da progressão geométrica , t n = ar n − 1 |
Questão 1: Determine se a sequência 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... é geométrica ou não.
Solução: Divida os termos pelo seu antecessor e verifique se existe uma proporção comum.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Como possuem razão comum = 0,1, portanto esta sequência é uma progressão geométrica.
Questão 2: Encontre o 6º termo da progressão geométrica 3, 15, 75, 375, ...
Solução: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Questão 3: o n- ésimo termo da progressão geométrica é 3⋅2 n− 1 , encontre o primeiro e o segundo termo.
Solução: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Se a é o primeiro termo, r é a razão comum e S n é a soma de n termos da progressão geométrica, então
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 +… + ar n - 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , quando r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , quando r < 1 |
Questão 1: Encontre a soma da progressão geométrica, 3, -6, 12, -24, 48, ... a 10 termos
Solução: Ração comum = -6/3 = -2
como r < 1, portanto \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
A média geométrica de dois números positivos aeb é o número \(\sqrt {ab}\) . Portanto, a média geométrica de 8 e 32 é \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Você notou que os três números 8, 16 e 32 são três termos consecutivos de progressão geométrica. Portanto, a média geométrica dá-nos uma forma de encontrar um valor entre valores muito diferentes. Para encontrar a média geométrica de n números, multiplique todos os n números e obtenha a n- ésima raiz. Portanto,
A média geométrica de n números a 1 até a n é: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
A média geométrica de 3, 27 é 9, o que significa que a área de um retângulo de lados 3 e 27 é igual à área de um quadrado de lado 9. 
Pergunta: Encontre a média geométrica de 4, 10, 12, 20, 24
Solução: Média Geométrica = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Média Geométrica = 11,816
