Изучив арифметическую прогрессию, давайте изучим геометрическую прогрессию, которая также известна как геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия (GP) — это последовательность, в которой отношение любого термина к его предшественникам всегда равно одному и тому же числу, являющемуся постоянным. Это соотношение называется общим соотношением . Если «a» обозначает первый член, а «r» — общее соотношение в геометрической прогрессии, то стандартной геометрической прогрессией является a, ar, ar 2 , …
Примеры:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
общее соотношение \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Общее соотношение \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Если a — первый член, общее отношение — r, а номер члена — n, тогда
t 1 (первый член) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (второй член) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (третий член) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Поэтому,
| n- й член геометрической прогрессии , t n = ar n - 1 |
Вопрос 1: Определите, является ли последовательность 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... геометрической или нет.
Решение: Разделите члены на их предшественники и проверьте, существует ли общее соотношение.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Так как их общее отношение = 0,1, то данная последовательность является геометрической прогрессией.
Вопрос 2: Найдите 6- й член геометрической прогрессии 3, 15, 75, 375,...
Решение: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Вопрос 3: n- й член геометрической прогрессии равен 3⋅2 n− 1 , найдите первый и второй член.
Решение: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Если a — первый член, r — обычное отношение и Sn — сумма n членов геометрической прогрессии, то
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n - 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , когда r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , когда r < 1 |
Вопрос 1: Найдите сумму геометрической прогрессии 3, -6, 12, -24, 48,... до 10 членов.
Решение: Общий рацион = -6/3 = -2.
поскольку r < 1, поэтому \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Среднее геометрическое двух положительных чисел a и b — это число \(\sqrt {ab}\) . Следовательно, среднее геометрическое чисел 8 и 32 равно \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Вы заметили, что три числа 8, 16 и 32 — это три последовательных члена геометрической прогрессии. Таким образом, среднее геометрическое дает нам возможность найти значение между совершенно разными значениями. Чтобы найти среднее геометрическое n чисел, умножьте все n чисел и извлеките корень n- й степени . Поэтому,
Среднее геометрическое n чисел от a 1 до a n равно: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Среднее геометрическое чисел 3, 27 равно 9, что означает, что площадь прямоугольника со сторонами 3 и 27 равна площади квадрата со стороной 9. 
Вопрос: Найдите среднее геометрическое чисел 4, 10, 12, 20, 24.
Решение: Среднее геометрическое = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Среднее геометрическое = 11,816
