Pasi të mësojmë progresionin aritmetik, le të mësojmë progresionin gjeometrik, i cili njihet edhe si një sekuencë gjeometrike.
Progresioni gjeometrik (GP) është një sekuencë në të cilën raporti i çdo termi me paraardhësit e tij është gjithmonë i njëjti numër, i cili është konstant. Raporti quhet raport i përbashkët . Nëse 'a' tregon termin e parë dhe 'r' raportin e përbashkët në një progresion gjeometrik, atëherë progresioni gjeometrik standard është a, ar, ar 2 , …
Shembuj:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
raporti i përbashkët \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Raporti i përbashkët \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Nëse a është termi i parë, raporti i përbashkët është r dhe numri i termit është n atëherë
t 1 (termi i parë) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (termi i dytë) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (termi i tretë) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Prandaj,
| n termi i progresionit gjeometrik , t n = ar n − 1 |
Pyetja 1: Përcaktoni nëse sekuenca 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... është gjeometrike apo jo.
Zgjidhja: Ndani termat sipas paraardhësve të tyre dhe kontrolloni nëse ekziston një raport i përbashkët.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Meqenëse ato kanë raport të përbashkët = 0.1, prandaj kjo sekuencë është një progresion gjeometrik.
Pyetja 2: Gjeni termin e gjashtë të progresionit gjeometrik 3, 15, 75, 375, ...
Zgjidhje: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Pyetja 3: Termi n i progresionit gjeometrik është 3⋅2 n− 1 , gjeni termin e parë dhe të dytë.
Zgjidhje: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Nëse a është termi i parë, r është raporti i përbashkët dhe S n është shuma e n termave të progresionit gjeometrik, atëherë
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , kur r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , kur r < 1 |
Pyetja 1: Gjeni shumën e progresionit gjeometrik, 3, -6, 12, -24, 48, ... deri në 10 terma
Zgjidhje: Racion i përbashkët = -6/3 = -2
si r < 1, pra \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Mesatarja gjeometrike e dy numrave pozitivë a dhe b është numri \(\sqrt {ab}\) . Prandaj, mesatarja gjeometrike e 8 dhe 32 është \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
A e keni vënë re se tre numrat 8, 16 dhe 32 janë tre terma të njëpasnjëshëm të progresionit gjeometrik. Pra, mesatarja gjeometrike na jep një mënyrë për të gjetur një vlerë midis vlerave shumë të ndryshme. Për të gjetur mesataren gjeometrike të n numrave, shumëzoni të gjithë n numrat dhe merrni rrënjën e n- të . Prandaj,
Mesatarja gjeometrike e n numrave a 1 deri në një n është: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Mesatarja gjeometrike e 3, 27 është 9, që do të thotë se sipërfaqja e një drejtkëndëshi të brinjëve 3 dhe 27 është e njëjtë me sipërfaqen e një katrori të brinjës 9. 
Pyetje: Gjeni mesataren gjeometrike të 4, 10, 12, 20, 24
Zgjidhja: Mesatarja gjeometrike = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Mesatarja gjeometrike = 11.816
