Efter att ha lärt oss aritmetisk progression låt oss lära oss geometrisk progression, som också är känd som en geometrisk sekvens.
Geometrisk progression (GP) är en sekvens där förhållandet mellan en term och dess föregångare alltid är samma tal, vilket är konstant. Förhållandet kallas det gemensamma förhållandet . Om 'a' betecknar första termen och 'r' det gemensamma förhållandet i en geometrisk progression så är standardgeometrisk progression a, ar, ar 2 , …
Exempel:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
gemensamt förhållande \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Common Ratio \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Om a är den första termen är det vanliga förhållandet r och antalet termer är n då
t 1 (första termen) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (andra termen) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (tredje termen) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Därför,
| n: e termen för geometrisk progression , t n = ar n − 1 |
Fråga 1: Bestäm om sekvensen 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... är geometrisk eller inte.
Lösning: Dela termerna med deras föregångare och kontrollera om det finns ett gemensamt förhållande.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Eftersom de har gemensamt förhållande = 0,1 är denna sekvens därför en geometrisk progression.
Fråga 2: Hitta den 6: e termen av geometrisk progression 3, 15, 75, 375, ...
Lösning: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Fråga 3: n: e termen av geometrisk progression är 3⋅2 n− 1 , hitta den första och andra termen.
Lösning: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Om a är den första termen, r är det gemensamma förhållandet och S n är summan av n termer av den geometriska progressionen, då
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , när r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , när r < 1 |
Fråga 1: Hitta summan av den geometriska progressionen, 3, -6, 12, -24, 48, ... till 10 termer
Lösning: Vanlig ranson = -6/3 = -2
som r < 1, därför \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Det geometriska medelvärdet av två positiva tal a och b är talet \(\sqrt {ab}\) . Därför är det geometriska medelvärdet av 8 och 32 \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Lade du märke till att de tre siffrorna 8, 16 och 32 är tre på varandra följande termer av geometrisk progression. Så det geometriska medelvärdet ger oss ett sätt att hitta ett värde mellan vitt skilda värden. För att hitta det geometriska medelvärdet av n tal, multiplicera alla n tal och ta den n :te roten. Därför,
Geometriskt medelvärde av n tal a 1 till a n är: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Det geometriska medelvärdet av 3, 27 är 9, vilket betyder att arean av en rektangel på sidorna 3 och 27 är densamma som arean av en kvadrat på sidan 9. 
Fråga: Hitta det geometriska medelvärdet av 4, 10, 12, 20, 24
Lösning: Geometriskt medelvärde = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometriskt medelvärde = 11,816
