Baada ya kujifunza uendelezaji wa hesabu, hebu tujifunze maendeleo ya kijiometri, ambayo pia hujulikana kama mfuatano wa kijiometri.
Maendeleo ya kijiometri (GP) ni mlolongo ambao uwiano wa neno lolote kwa watangulizi wake daima ni idadi sawa, ambayo ni mara kwa mara. Uwiano huo unaitwa uwiano wa kawaida . Ikiwa 'a' inaashiria muhula wa kwanza na 'r' uwiano wa kawaida katika maendeleo ya kijiometri basi uendelezaji wa kawaida wa kijiometri ni a, ar, ar 2 , ...
Mifano:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, ...
uwiano wa kawaida \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Uwiano wa Kawaida \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Ikiwa a ni muhula wa kwanza, uwiano wa kawaida ni r na idadi ya neno ni n basi
t 1 (muhula wa kwanza) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (muhula wa pili) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (muhula wa tatu) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Kwa hiyo,
| n muda wa maendeleo ya kijiometri , t n = ar n -1 |
Swali la 1: Amua ikiwa mlolongo 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... ni kijiometri au la.
Suluhisho: Gawanya masharti na mtangulizi wao na uangalie ikiwa uwiano wa kawaida upo.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Kwa kuwa wana uwiano wa kawaida = 0.1, kwa hivyo mlolongo huu ni maendeleo ya kijiometri.
Swali la 2: Tafuta muhula wa 6 wa maendeleo ya kijiometri 3, 15, 75, 375, ...
Suluhisho: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Swali la 3: n muhula wa maendeleo ya kijiometri ni 3⋅2 n− 1 , tafuta muhula wa kwanza na wa pili.
Suluhisho: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Ikiwa a ni muhula wa kwanza, r ni uwiano wa kawaida na S n ni jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri, basi
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , wakati r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , wakati r < 1 |
Swali la 1: Tafuta jumla ya maendeleo ya kijiometri, 3, -6, 12, -24, 48, ... hadi 10.
Suluhisho: Mgawo wa kawaida = -6/3 = -2
kama r < 1, kwa hivyo \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Maana ya kijiometri ya nambari mbili chanya a na b ni nambari \(\sqrt {ab}\) . Kwa hivyo maana ya kijiometri ya 8 na 32 ni \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Je, umeona kwamba nambari tatu 8, 16, na 32 ni masharti matatu mfululizo ya maendeleo ya kijiometri. Kwa hivyo maana ya kijiometri inatupa njia ya kupata thamani kati ya maadili tofauti sana. Ili kupata maana ya kijiometri ya nambari n, zidisha nambari zote n na uchukue mzizi wa n. Kwa hiyo,
Maana ya kijiometri ya n nambari 1 hadi n ni : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Maana ya kijiometri ya 3, 27 ni 9, ambayo ina maana eneo la mstatili wa pande 3 na 27 ni sawa na eneo la mraba wa upande wa 9. 
Swali: Tafuta maana ya kijiometri ya 4, 10, 12, 20, 24
Suluhisho: Maana ya kijiometri = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Maana ya kijiometri = 11.816
