หลังจากเรียนรู้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ให้เราเรียนรู้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลำดับทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (GP) คือลำดับที่อัตราส่วนของคำศัพท์ใดๆ ต่อคำที่มาก่อนจะเป็นจำนวนเดียวกันเสมอ ซึ่งเป็นค่าคงที่ อัตราส่วนนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม ถ้า 'a' หมายถึงเทอมแรกและ 'r' เป็นอัตราส่วนร่วมในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ดังนั้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมาตรฐานคือ a, ar, ar 2 , …
ตัวอย่าง:
(ฌ) 1, 3, 9, 27, 81, …
อัตราส่วนร่วม \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
อัตราส่วนร่วม \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
ถ้า a เป็นเทอมแรก อัตราส่วนร่วมคือ r และจำนวนเทอมคือ n แล้ว
เสื้อ 1 (เทอมแรก) = a⋅r 1−1 = a
เสื้อ 2 (เทอมที่สอง) = a⋅r 2− 1 = ar
เสื้อ 3 (เทอมที่สาม) = a⋅r 3− 1 = ar 2
ดังนั้น,
| เทอม ที่ n ของ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต , t n = ar n − 1 |
คำถามที่ 1: พิจารณาว่าลำดับ 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... เป็นเรขาคณิตหรือไม่
วิธีแก้ไข: แบ่งเงื่อนไขตามคำก่อนหน้าและตรวจสอบว่ามีอัตราส่วนร่วมอยู่หรือไม่
.02 ۞ 0.2 = 0.1, .002 ۞ 0.02 = 0.1, .0002 ۞ 0.002 = .1
เนื่องจากมีอัตราส่วนร่วมกัน = 0.1 ดังนั้นลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำถามที่ 2: ค้นหา เทอม ที่ 6 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 3, 15, 75, 375, ...
วิธีแก้: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
คำถามที่ 3: เทอม ที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 3⋅2 n− 1 ค้นหาเทอมที่หนึ่งและเทอมที่สอง
วิธีแก้: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
ถ้า a เป็นเทอมแรก r คืออัตราส่วนร่วม และ S n คือผลรวมของเทอม n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แล้ว
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) เมื่อ r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) เมื่อ r < 1 |
คำถามที่ 1: หาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 3, -6, 12, -24, 48, ... ถึง 10 เทอม
วิธีแก้ปัญหา: ปันส่วนร่วม = -6/3 = -2
เมื่อ r < 1 ดังนั้น \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของจำนวนบวกสองตัว a และ b คือตัวเลข \(\sqrt {ab}\) ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ 8 และ 32 คือ \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
คุณสังเกตไหมว่าตัวเลขสามตัว 8, 16 และ 32 เป็นสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตให้วิธีหาค่าระหว่างค่าที่ต่างกันมาก หากต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของจำนวน n จำนวน ให้คูณจำนวน n ทั้งหมดแล้วหารากที่ n ดังนั้น,
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ n จำนวน a 1 ถึง n คือ : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ 3, 27 คือ 9 ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้าน 3 และ 27 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน 9 
คำถาม: จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ 4, 10, 12, 20, 24
วิธีแก้: ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต = 11.816
