Pagkatapos matutunan ang pag-unlad ng aritmetika, pag-aralan natin ang geometric na pag-unlad, na kilala rin bilang isang geometric na pagkakasunud-sunod.
Ang geometric progression (GP) ay isang sequence kung saan ang ratio ng anumang termino sa mga nauna nito ay palaging pareho ang bilang, na pare-pareho. Ang ratio ay tinatawag na karaniwang ratio . Kung ang 'a' ay tumutukoy sa unang termino at 'r' ang karaniwang ratio sa isang geometric na pag-unlad kung gayon ang karaniwang geometric na pag-unlad ay a, ar, ar 2 , …
Mga halimbawa:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
karaniwang ratio \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Karaniwang Ratio \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Kung ang a ay ang unang termino, ang karaniwang ratio ay r at ang bilang ng termino ay n pagkatapos
t 1 (unang termino) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (ikalawang termino) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (ikatlong termino) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Samakatuwid,
| ika- na termino ng geometric progression , t n = ar n − 1 |
Tanong 1: Tukuyin kung ang sequence 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... ay geometric o hindi.
Solusyon: Hatiin ang mga termino ayon sa kanilang hinalinhan at tingnan kung mayroong isang karaniwang ratio.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Dahil mayroon silang karaniwang ratio = 0.1, samakatuwid ang sequence na ito ay isang geometric progression.
Tanong 2: Hanapin ang ika-6 na termino ng geometric progression 3, 15, 75, 375, ...
Solusyon: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Tanong 3: ang ika- na termino ng geometric progression ay 3⋅2 n− 1 , hanapin ang una at pangalawang termino.
Solusyon: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Kung ang a ay ang unang termino, ang r ay ang karaniwang ratio at ang S n ay ang kabuuan ng n mga tuntunin ng geometric na pag-unlad, kung gayon
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , kapag r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , kapag r < 1 |
Tanong 1: Hanapin ang kabuuan ng geometric progression, 3, -6, 12, -24, 48, ... hanggang 10 termino
Solusyon: Karaniwang rasyon = -6/3 = -2
bilang r < 1, samakatuwid \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Ang geometric na ibig sabihin ng dalawang positibong numero a at b ay ang numerong \(\sqrt {ab}\) . Samakatuwid ang geometric na mean ng 8 at 32 ay \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Napansin mo ba na ang tatlong numero 8, 16, at 32 ay tatlong magkakasunod na termino ng geometric progression. Kaya't ang geometric mean ay nagbibigay sa atin ng paraan ng paghahanap ng halaga sa pagitan ng malawak na magkakaibang mga halaga. Upang mahanap ang geometric mean ng n numero, i-multiply ang lahat ng n numero at kunin ang n th root. Samakatuwid,
Ang Geometric Mean ng n numero a 1 hanggang a n ay : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Ang geometric na mean ng 3, 27 ay 9, na nangangahulugang ang lugar ng isang parihaba ng mga gilid 3 at 27 ay kapareho ng lugar ng isang parisukat ng gilid 9. 
Tanong: Hanapin ang geometric na mean ng 4, 10, 12, 20, 24
Solusyon: Geometric Mean = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometric Mean = 11.816
