Aritmetik ilerlemeyi öğrendikten sonra geometrik dizi olarak da bilinen geometrik ilerlemeyi öğrenelim.
Geometrik ilerleme (GP) herhangi bir terimin öncüllerine oranının her zaman aynı ve sabit olduğu bir dizidir. Orana ortak oran denir. 'a' ilk terimi ve 'r' geometrik ilerlemedeki ortak oranı gösteriyorsa, standart geometrik ilerleme a, ar, ar 2 , …'dir.
Örnekler:
(i) 1, 3, 9, 27, 81,…
ortak oran \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Ortak Oran \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
İlk terim a ise ortak oran r ve terim sayısı n ise
t 1 (ilk terim) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (ikinci terim) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (üçüncü terim) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Öyleyse,
| geometrik ilerlemenin n'inci terimi , t n = ar n − 1 |
Soru 1: 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... dizisinin geometrik olup olmadığını belirleyin.
Çözüm: Terimleri öncüllerine bölün ve ortak bir oranın olup olmadığını kontrol edin.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Ortak oranları = 0,1 olduğundan bu dizi geometrik bir ilerlemedir.
Soru 2: Geometrik ilerlemenin 6. terimini bulun 3, 15, 75, 375, ...
Çözüm: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Soru 3: Geometrik ilerlemenin n'inci terimi 3⋅2 n− 1'dir , birinci ve ikinci terimi bulun.
Çözüm: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Eğer a ilk terimse, r ortak orandır ve S n geometrik ilerlemenin n teriminin toplamıdır, o zaman
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n - 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , r > 1 olduğunda \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , r < 1 olduğunda |
Soru 1: 3, -6, 12, -24, 48, ...'den 10 terime kadar geometrik ilerlemenin toplamını bulun
Çözüm: Ortak oran = -6/3 = -2
r < 1 olduğundan \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
İki pozitif a ve b sayısının geometrik ortalaması \(\sqrt {ab}\) sayısıdır. Dolayısıyla 8 ve 32'nin geometrik ortalaması \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\) olur
8, 16 ve 32 rakamlarının ardışık üç geometrik ilerleme terimi olduğunu fark ettiniz mi? Dolayısıyla geometrik ortalama bize çok farklı değerler arasında bir değer bulmanın yolunu verir. N sayıda sayının geometrik ortalamasını bulmak için tüm n sayıları çarpın ve n'inci kökü alın. Öyleyse,
a 1'den a n'ye kadar n sayının geometrik ortalaması: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3, 27'nin geometrik ortalaması 9'dur; bu, kenarları 3 ve 27 olan bir dikdörtgenin alanının, kenarı 9 olan bir karenin alanıyla aynı olduğu anlamına gelir. 
Soru: 4, 10, 12, 20, 24'ün geometrik ortalamasını bulun
Çözüm: Geometrik Ortalama = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometrik Ortalama = 11.816
