Після вивчення арифметичної прогресії давайте вивчимо геометричну прогресію, яка також відома як геометрична послідовність.
Геометрична прогресія (GP) — це послідовність, у якій відношення будь-якого члена до його попередників завжди однакове число, яке є постійним. Відношення називається загальним співвідношенням . Якщо «a» позначає перший член, а «r» — загальне відношення в геометричній прогресії, тоді стандартною геометричною прогресією є a, ar, ar 2 , …
приклади:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
загальний коефіцієнт \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Загальний коефіцієнт \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Якщо a є першим доданком, загальне відношення дорівнює r, а номер доданка дорівнює n
t 1 (перший доданок) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (другий доданок) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (третій доданок) = a⋅r 3− 1 = ar 2
тому
| n- й член геометричної прогресії , t n = ar n − 1 |
Запитання 1: Визначте, чи є послідовність 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... геометричною чи ні.
Розв’язання: розділіть доданки на їх попередників і перевірте, чи існує спільне співвідношення.
0,02 ÷ 0,2 = 0,1, 0,002 ÷ 0,02 = 0,1, 0,0002 ÷ 0,002 = 0,1
Оскільки вони мають спільне відношення = 0,1, то ця послідовність є геометричною прогресією.
Питання 2: Знайдіть 6- й член геометричної прогресії 3, 15, 75, 375, ...
Розв’язання: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Запитання 3: n-й член геометричної прогресії дорівнює 3⋅2 n− 1 , знайдіть перший і другий член.
Розв’язання: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Якщо a — перший член, r — загальне відношення і S n — сума n членів геометричної прогресії, то
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , коли r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , коли r < 1 |
Запитання 1: Знайдіть суму геометричної прогресії, 3, -6, 12, -24, 48, ... до 10 членів
Рішення: Загальний раціон = -6/3 = -2
як r < 1, тому \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Середнє геометричне двох додатних чисел a і b є числом \(\sqrt {ab}\) . Тому середнє геометричне 8 і 32 дорівнює \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Ви помітили, що три числа 8, 16 і 32 є трьома послідовними членами геометричної прогресії. Отже, середнє геометричне дає нам спосіб знайти значення між дуже різними значеннями. Щоб знайти середнє геометричне n чисел, перемножте всі n чисел і вийміть корінь n- го . тому
Середнє геометричне n чисел від 1 до n дорівнює: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Середнє геометричне 3, 27 дорівнює 9, що означає, що площа прямокутника зі сторонами 3 і 27 дорівнює площі квадрата зі стороною 9. 
Запитання: Знайдіть середнє геометричне 4, 10, 12, 20, 24
Рішення: середнє геометричне = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Середнє геометричне = 11,816
