ریاضی کی ترقی سیکھنے کے بعد آئیے ہندسی ترقی سیکھتے ہیں، جسے ہندسی ترتیب بھی کہا جاتا ہے۔
جیومیٹرک پروگریشن (GP) ایک ایسا سلسلہ ہے جس میں کسی بھی اصطلاح کا اس کے پیشروؤں سے تناسب ہمیشہ ایک ہی نمبر ہوتا ہے، جو کہ مستقل ہوتا ہے۔ تناسب کو عام تناسب کہا جاتا ہے۔ اگر 'a' ہندسی ترقی میں پہلی اصطلاح اور 'r' مشترکہ تناسب کو ظاہر کرتا ہے تو معیاری ہندسی ترقی a, ar, ar 2 , …
مثالیں:
(i) 1، 3، 9، 27، 81، …
عام تناسب \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
مشترکہ تناسب \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
اگر a پہلی اصطلاح ہے تو عام تناسب r ہے اور اصطلاح کی تعداد n ہے۔
t 1 (پہلی اصطلاح) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (دوسری اصطلاح) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (تیسری اصطلاح) = a⋅r 3− 1 = ar 2
لہذا،
| ہندسی ترقی کی n ویں اصطلاح ، t n = ar n − 1 |
سوال 1: اس بات کا تعین کریں کہ آیا ترتیب 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... جیومیٹرک ہے یا نہیں۔
حل: شرائط کو ان کے پیشرو کے حساب سے تقسیم کریں اور چیک کریں کہ آیا ایک مشترکہ تناسب موجود ہے۔
.02 ÷ 0.2 = 0.1، .002 ÷ 0.02 = 0.1، .0002 ÷ 0.002 = .1
چونکہ ان کا مشترکہ تناسب = 0.1 ہے، اس لیے یہ ترتیب ہندسی ترقی ہے۔
سوال 2: ہندسی ترقی 3، 15، 75، 375، ... کی 6 ویں اصطلاح تلاش کریں۔
حل: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
سوال 3: ہندسی ترقی کی n ویں اصطلاح 3⋅2 n− 1 ہے، پہلی اور دوسری اصطلاح تلاش کریں۔
حل: t 1 = 3⋅2 0 = 3، t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
اگر a پہلی اصطلاح ہے، r مشترکہ تناسب ہے اور S n ہندسی ترقی کی n شرائط کا مجموعہ ہے، پھر
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) ، جب r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , جب r < 1 |
سوال 1: ہندسی ترقی کا مجموعہ تلاش کریں، 3، -6، 12، -24، 48، ... سے 10 اصطلاحات
حل: عام راشن = -6/3 = -2
بطور r < 1، لہذا \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
دو مثبت اعداد a اور b کا ہندسی وسط نمبر ہے \(\sqrt {ab}\) ۔ لہذا 8 اور 32 کا ہندسی وسط ہے \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
کیا آپ نے دیکھا کہ تین نمبر 8، 16، اور 32 ہندسی ترقی کی تین مسلسل اصطلاحات ہیں۔ لہذا ہندسی وسط ہمیں وسیع پیمانے پر مختلف اقدار کے درمیان ایک قدر تلاش کرنے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ n اعداد کا ہندسی وسط معلوم کرنے کے لیے، تمام n نمبروں کو ضرب دیں اور n ویں جڑ لیں۔ لہذا،
n نمبروں کا ہندسی اوسط a 1 سے n ہے: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3، 27 کا ہندسی وسط 9 ہے، جس کا مطلب ہے کہ اطراف 3 اور 27 کے مستطیل کا رقبہ 9 کے مربع کے رقبہ کے برابر ہے۔ 
سوال: 4، 10، 12، 20، 24 کا ہندسی وسط تلاش کریں
حل: جیومیٹرک اوسط = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
ہندسی اوسط = 11.816
