Arifmetik progressiyani o'rganganimizdan so'ng, keling, geometrik progressiyani o'rganamiz, bu geometrik ketma-ketlik deb ham ataladi.
Geometrik progressiya (GP) - bu ketma-ketlik bo'lib, unda har qanday atamaning o'zidan oldingilariga nisbati har doim bir xil son bo'lib, u doimiydir. Bu nisbat umumiy nisbat deb ataladi. Agar “a” birinchi hadni, “r” esa geometrik progressiyadagi umumiy nisbatni bildirsa, standart geometrik progressiya a, ar, ar 2 ,…
Misollar:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
umumiy nisbat \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Umumiy nisbat \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Agar a birinchi had bo'lsa, umumiy nisbat r va hadlar soni n bo'ladi
t 1 (birinchi had) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (ikkinchi muddat) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (uchinchi had) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Shuning uchun,
| Geometrik progressiyaning n -chi hadi , t n = ar n - 1 |
1-savol: 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, ... ketma-ketligi geometrik yoki yoʻqligini aniqlang.
Yechish: Shartlarni oldingisiga bo'ling va umumiy nisbat mavjudligini tekshiring.
.02 ÷ 0.2 = 0.1, .002 ÷ 0.02 = 0.1, .0002 ÷ 0.002 = .1
Ularning umumiy nisbati = 0,1 ga teng, shuning uchun bu ketma-ketlik geometrik progressiyadir.
2-savol: Geometrik progressiyaning 6- chi hadini toping 3, 15, 75, 375, ...
Yechish: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
3-savol: Geometrik progressiyaning n -chi hadi 3⋅2 n− 1 ga teng, birinchi va ikkinchi hadni toping.
Yechish: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Agar a birinchi had, r umumiy nisbat va S n geometrik progressiyaning n ta hadi yig’indisi bo’lsa, u holda
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n - 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , r > 1 boʻlganda \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , r < 1 boʻlganda |
1-savol: 3, -6, 12, -24, 48, ... dan 10 tagacha boʻlgan geometrik progressiya yigʻindisini toping.
Yechish: Umumiy ratsion = -6/3 = -2
r < 1 sifatida, shuning uchun \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Ikki musbat a va b sonlarning geometrik o'rtacha qiymati \(\sqrt {ab}\) sondir. Shuning uchun 8 va 32 ning geometrik o'rtacha qiymati \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
E'tibor berganmisiz, uchta 8, 16 va 32 raqamlari geometrik progressiyaning ketma-ket uchta hadi. Shunday qilib, geometrik o'rtacha bizga turli xil qiymatlar orasidagi qiymatni topish usulini beradi. n ta sonning geometrik oʻrtasini topish uchun barcha n ta sonni koʻpaytiring va n- chi ildizni oling. Shuning uchun,
a 1 dan a n gacha bo‘lgan n ta sonning geometrik o‘rtachasi: \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
3, 27 ning o'rtacha geometrik qiymati 9 ga teng, ya'ni tomonlari 3 va 27 bo'lgan to'rtburchakning maydoni 9 tomoni kvadratining maydoni bilan bir xil. 
Savol: 4, 10, 12, 20, 24 ning geometrik oʻrtachasini toping.
Yechish: Geometrik oʻrtacha = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Geometrik o'rtacha = 11,816
