Sau khi học tiến trình số học, chúng ta hãy tìm hiểu tiến trình hình học, còn được gọi là cấp số nhân.
Cấp số hình học (GP) là một chuỗi trong đó tỷ lệ của bất kỳ số hạng nào với các số hạng trước nó luôn bằng một số, không đổi. Tỷ lệ đó được gọi là tỷ lệ chung . Nếu 'a' biểu thị số hạng đầu tiên và 'r' là tỉ số chung trong một cấp số nhân thì cấp số nhân tiêu chuẩn là a, ar, ar 2 , …
Ví dụ:
(i) 1, 3, 9, 27, 81, …
tỷ lệ chung \(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = \frac{81}{27} =… = 3\)
(ii) \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …\)
Tỷ lệ chung \(\frac{-1/2}{1} =\frac{1/4}{-1/2} = \frac{-1/8}{1/4} = … = \frac{-1}{2}\)
Nếu a là số hạng đầu tiên, tỉ số chung là r và số hạng là n thì
t 1 (số hạng đầu tiên) = a⋅r 1−1 = a
t 2 (số hạng thứ hai) = a⋅r 2− 1 = ar
t 3 (số hạng thứ ba) = a⋅r 3− 1 = ar 2
Vì thế,
| n số hạng cấp số nhân , t n = ar n − 1 |
Câu 1: Xác định dãy 0,2, 0,02, 0,002, 0,0002, ... có phải là dãy số hay không.
Giải: Chia các số hạng cho số hạng liền trước và kiểm tra xem có tồn tại tỉ số chung hay không.
0,02 0,2 = 0,1, 0,002 0,02 = 0,1, 0,0002 0,002 = 0,1
Vì chúng có tỷ số chung = 0,1 nên chuỗi này là một cấp số nhân.
Câu 2: Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân 3, 15, 75, 375,...
Giải: t 6 = 3 ⋅ 5 6− 1 = 3 ⋅ 5 5 = 3 ⋅ 3125 = 9375
Câu 3: Số hạng cấp số nhân thứ n là 3⋅2 n− 1 , tìm số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai.
Giải: t 1 = 3⋅2 0 = 3, t 2 = 3⋅2 2−1 = 6
Nếu a là số hạng đầu tiên, r là tỉ số chung và S n là tổng của n số hạng của cấp số nhân, thì
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n − 1
\(S_n = \frac {a(r^n - 1)}{r - 1}\) , khi r > 1 \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\) , khi r < 1 |
Câu 1: Tìm tổng cấp số nhân 3, -6, 12, -24, 48,... đến 10 số hạng
Giải: Khẩu phần ăn chung = -6/3 = -2
vì r < 1, do đó \(S_n = \frac {a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_1 = \frac { 3(1-(-2)^{10})} { 1 - (-2)} \\ S_1 = \frac{3(1-1024)}{3} \\ S_1 = -1023\)
Giá trị trung bình hình học của hai số dương a và b là số \(\sqrt {ab}\) . Do đó, trung bình hình học của 8 và 32 là \(\sqrt {8.32}\) = \(\sqrt {256} = 16\)
Bạn có để ý rằng ba số 8, 16 và 32 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Vì vậy, trung bình hình học cho chúng ta một cách tìm giá trị ở giữa các giá trị rất khác nhau. Để tìm trung bình hình học của n số, hãy nhân tất cả n số và lấy căn bậc n. Vì thế,
Trung bình hình học của n số a 1 đến n là : \(\sqrt[n]{a_1\times a_2 \times a_3 \times…\times a_n}\)
Trung bình hình học của 3, 27 là 9, nghĩa là diện tích hình chữ nhật có cạnh 3 và 27 bằng diện tích hình vuông có cạnh 9. 
Câu hỏi: Tìm trung bình nhân của 4, 10, 12, 20, 24
Giải: Trung bình hình học = \(\sqrt[5]{4\times10\times 12\times20\times24}\)
Trung bình hình học = 11,816
