Back to the topics list

winkel

Eine Linie ist ein vollkommen gerader Weg, der sich in beide Richtungen unendlich ausdehnt. Eine Linie hat eine unendliche Länge. Das heißt, sie hat keine Endpunkte. Ein Liniensegment ist ein Teil einer Linie. Es hat eine bestimmte Länge und zwei Endpunkte.

• Gleichzeitige Linien – Drei oder mehr Linien, die in einer Ebene liegen, werden als gleichzeitige Linien bezeichnet, wenn sie alle durch denselben Punkt verlaufen.
• Schnittlinien – Zwei Linien, die in derselben Ebene liegen und sich in einem Punkt treffen, werden als Schnittlinien bezeichnet.
• Parallele Linien – Zwei sich nicht schneidende Linien, die in derselben Ebene liegen, werden parallele Linien genannt.
• Senkrechte Linien – Zwei beliebige Linien, die auf derselben Ebene liegen und sich im rechten Winkel schneiden, werden als senkrechte Linien bezeichnet.

Winkel

In der Geometrie kann ein Winkel als die Figur definiert werden, die von zwei Strahlen gebildet wird, die an einem gemeinsamen Endpunkt, einem Scheitelpunkt, zusammentreffen. Ein Winkel wird durch das Symbol ∠ dargestellt. Der folgende Winkel ist ∠AOB. Punkt O ist der Scheitelpunkt von ∠AOB. \(OA\) und \(OB\) sind die Arme von ∠AOB.

Winkel werden mit einem Winkelmesser in Grad gemessen. Der Winkel kann zwischen 0° und 360° liegen.

Klassifizierung von Winkeln

Winkel	Figur
Spitzer Winkel – Ein Winkel, dessen Maß größer als 0°, aber kleiner als 90° ist, wird als spitzer Winkel bezeichnet.
Rechter Winkel - Ein Winkel von 90° wird als rechter Winkel bezeichnet.
Stumpfer Winkel – Ein Winkel, dessen Maß größer als 90°, aber kleiner als 180° ist, wird als stumpfer Winkel bezeichnet.
Gestreckter Winkel – Ein Winkel mit der Länge 180° wird als gestreckter Winkel bezeichnet.
Überstumpfer Winkel : Ein Winkel, dessen Maß größer als 180°, aber kleiner als 360° ist, wird als überstumpfer Winkel bezeichnet.
Voller Winkel - Ein Winkel mit der Länge 360° wird als voller Winkel bezeichnet.

Verwandte Winkel

Komplementärwinkel: Zwei Winkel werden als komplementär bezeichnet, wenn die Summe ihrer Maße 90° beträgt. In der folgenden Abbildung \(\angle 1+ \angle 2 = 90°\) .

Wir sagen \(\angle 1 \) ist ein Komplement von \(\angle 2 \) und umgekehrt.

Ergänzende Winkel: Zwei Winkel werden als Ergänzungswinkel bezeichnet, wenn die Summe ihrer Maße 180° beträgt. In der folgenden Abbildung \(\angle 3+ \angle 4 = 180°\) . \(\angle 3\) und \(\angle4\) sind Ergänzungswinkel.

\(\angle 3\) ist die Ergänzung von \(\angle4\) und umgekehrt.

Benachbarte Winkel: Ein Winkelpaar, das die folgenden drei Bedingungen erfüllt, wird als Paar benachbarter Winkel bezeichnet.
– Beide Winkel haben den gleichen Scheitelpunkt.
- Beide Winkel haben einen gemeinsamen Arm.
- Beide Winkel liegen auf gegenüberliegenden Seiten des gemeinsamen Arms.

A ist der gemeinsame Scheitelpunkt. \(AD\) ist der gemeinsame Arm. \(\angle 7\) und \(\angle8\) sind Paare benachbarter Winkel.

Vertikal gegenüberliegende Winkel: Zwei Winkel, die durch zwei sich schneidende Linien gebildet werden und keinen gemeinsamen Arm haben, werden vertikal gegenüberliegende Winkel genannt.

\(\angle 1 \) und \(\angle 2 \) sind senkrecht gegenüberliegende Winkel, ebenso sind \(\angle 3\) und \(\angle4\) senkrecht gegenüberliegende Winkel.

Wechselwinkel, korrespondierender Winkel, Innen- und Außenwinkel

Wenn eine Transversale (eine Linie, die in zwei verschiedenen Punkten durch zwei Linien in derselben Ebene verläuft) zwei Linien schneidet, entstehen acht Winkel. Diese acht Winkel können wie folgt in vier Gruppen eingeteilt werden:

1. Die Winkel 3 und 4 sowie 5 und 6 heißen Innenwinkel . Die Winkel 4 und 6 sowie 3 und 5 bilden ein Paar gleich großer Innenwinkel.
2. Die Winkel 1 und 5, die Winkel 2 und 6, die Winkel 4 und 8 und die Winkel 3 und 7 bilden ein Paar entsprechender Winkel .
3. Die Winkel 1, 2, 7 und 8 sind Außenwinkel.
4. Die Winkel 4 und 5 sowie die Winkel 3 und 6 bilden ein Paar abwechselnder Winkel.

Wenn eine Transversale zwei Parallelen schneidet, dann gilt:

1. Die Summe aller vier Innenwinkel beträgt 360°, also \(\angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 360°\)
2. Die Summe der Maße eines Innenwinkels beträgt 180°, d. h. \(\angle 3 + \angle5 = 180°, \angle 4 + \angle 6 = 180°\)
3. Die Summe aller vier Außenwinkel beträgt 360°, also \(\angle1 + \angle2 + \angle7 + \angle8 = 360°\)
4. Wechselwinkel sind gleich, d. h. \(\angle 4 = \angle 5, \angle 3 = \angle 6\)
5. Die entsprechenden Winkel sind gleich, d. h. \(\angle 2 = \angle 6, \angle 1 = \angle 5, \angle 4 = \angle 8, \angle 3 = \angle 7\)

Umgekehrt gelten auch folgende Aussagen: