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कोणों

रेखा एक बिल्कुल सीधा रास्ता है जो दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक फैला हुआ है। एक रेखा की लंबाई अनंत होती है। यानी इसका कोई अंत बिंदु नहीं होता। एक रेखाखंड एक रेखा का एक हिस्सा है। इसकी एक निश्चित लंबाई होती है और इसके दो अंत बिंदु होते हैं।

• समवर्ती रेखाएँ - एक तल पर स्थित तीन या अधिक रेखाएँ समवर्ती रेखाएँ कहलाती हैं यदि वे सभी एक ही बिंदु से होकर गुजरती हों।
• प्रतिच्छेदी रेखाएँ - एक ही तल में स्थित कोई भी दो रेखाएँ जो एक दूसरे से किसी बिंदु पर मिलती हैं, प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।
• समान्तर रेखाएँ - एक ही तल में स्थित दो अप्रतिच्छेदी रेखाओं को समान्तर रेखाएँ कहते हैं।
• लम्बवत रेखाएँ - एक ही तल पर स्थित कोई भी दो रेखाएँ जो एक दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, लम्बवत रेखाएँ कहलाती हैं।

कोण

ज्यामिति में, कोण को दो किरणों द्वारा एक सामान्य अंत बिंदु पर मिलने से बनने वाली आकृति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे शीर्ष कहा जाता है। कोण को प्रतीक ∠ द्वारा दर्शाया जाता है। नीचे का कोण ∠AOB है। बिंदु O, ∠AOB का शीर्ष है। \(OA\) और \(OB\) ∠AOB की भुजाएँ हैं।

कोण को डिग्री में मापा जाता है, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके। कोण 0° से 360° तक हो सकता है।

कोणों का वर्गीकरण

कोण	आकृति
न्यून कोण - वह कोण जिसका माप 0° से अधिक परंतु 90° से कम हो, न्यून कोण कहलाता है।
समकोण - वह कोण जिसका माप 90° हो, समकोण कहलाता है।
अधिक कोण - वह कोण जिसका माप 90° से अधिक परन्तु 180° से कम हो, अधिक कोण कहलाता है।
ऋजुकोण - वह कोण जिसका माप 180° हो, ऋजुकोण कहलाता है।
प्रतिवर्ती कोण - वह कोण जिसका माप 180° से अधिक परंतु 360° से कम हो, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
पूर्ण कोण - वह कोण जिसका माप 360° हो, पूर्ण कोण कहलाता है।

संबंधित कोण

पूरक कोण: दो कोणों को पूरक कहा जाता है यदि उनके मापों का योग 90° हो। नीचे दिए गए चित्र में \(\angle 1+ \angle 2 = 90°\)

हम कहते हैं कि \(\angle 1 \) \(\angle 2 \) का पूरक है और इसके विपरीत।

अधिक कोण: दो कोणों को पूरक कोण कहा जाता है यदि उनके मापों का योग 180° है। नीचे दिए गए चित्र में \(\angle 3+ \angle 4 = 180°\) । \(\angle 3\) और \(\angle4\) पूरक कोण हैं।

\(\angle 3\) \(\angle4\) का पूरक है और इसके विपरीत।

आसन्न कोण: कोणों का वह युग्म जो नीचे दी गई तीन शर्तों को पूरा करता है, आसन्न कोणों का युग्म कहलाता है।
- दोनों कोणों का शीर्ष एक ही है।
- दोनों कोणों की एक उभयनिष्ठ भुजा होती है।
- दोनों कोण उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत पक्षों पर हैं।

A उभयनिष्ठ शीर्ष है। \(AD\) उभयनिष्ठ भुजा है। \(\angle 7\) तथा \(\angle8\) आसन्न कोणों के युग्म हैं।

ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने तथा जिनकी कोई उभयनिष्ठ भुजा न हो, कोण ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं।

\(\angle 1 \) और \(\angle 2 \) ऊर्ध्वाधरतः विपरीत कोण हैं, साथ ही \(\angle 3\) और \(\angle4\) ऊर्ध्वाधरतः विपरीत कोण हैं।

वैकल्पिक, संगत, आंतरिक और बाहरी कोण

जब एक तिर्यक रेखा (एक रेखा जो एक ही तल में दो अलग-अलग बिंदुओं पर दो रेखाओं से होकर गुजरती है) दो रेखाओं को काटती है, तो आठ कोण बनते हैं। इन आठ कोणों को नीचे दिए गए चार समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. कोण 3 और 4; कोण 5 और 6 को आंतरिक कोण कहा जाता है। कोण 4 और 6 तथा कोण 3 और 5 सह-आंतरिक कोणों की एक जोड़ी बनाते हैं।
2. कोण 1 और 5; कोण 2 और 6; कोण 4 और 8 तथा कोण 3 और 7 संगत कोणों की एक जोड़ी बनाते हैं।
3. कोण 1, 2, 7 और 8 बाह्य कोण हैं।
4. कोण 4 और 5; कोण 3 और 6 एकांतर कोणों की जोड़ी बनाते हैं।

जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है तो निम्नलिखित सत्य होता है:

1. सभी चार आंतरिक कोणों के माप का योग 360° है, अर्थात \(\angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 360°\)
2. सह-आंतरिक कोण के माप का योग 180° है, अर्थात \(\angle 3 + \angle5 = 180°, \angle 4 + \angle 6 = 180°\)
3. चारों बाह्य कोणों के माप का योग 360° है, अर्थात \(\angle1 + \angle2 + \angle7 + \angle8 = 360°\)
4. वैकल्पिक कोण बराबर होते हैं, अर्थात \(\angle 4 = \angle 5, \angle 3 = \angle 6\)
5. संगत कोण बराबर हैं, अर्थात \(\angle 2 = \angle 6, \angle 1 = \angle 5, \angle 4 = \angle 8, \angle 3 = \angle 7\)

इसके विपरीत, निम्नलिखित कथन भी सत्य हैं: