التقليب هو أسلوب رياضي يحدد عدد الترتيبات الممكنة في مجموعة عندما يكون ترتيب الترتيبات مهمًا. دعونا نفهم هذا المفهوم باستخدام المثال أدناه:
ستايسي لديها 3 فساتين وحقيبتين يد. هناك ثلاث طرق يمكن من خلالها اختيار الفستان حيث تتوفر 3 فساتين. لكل اختيار فستان ، هناك خياران لحقيبة اليد. لذلك ، هناك 3 × 2 = 6 أزواج من الفستان وحقيبة اليد. دع 3 فساتين يتم تمثيلها على أنها D 1 و D 2 و D 3 وحقيبتا اليد H 1 و H 2 . 
ينص المبدأ الأساسي للعد على ما يلي:
| إذا كان يمكن أن يحدث حدث ما بطرق مختلفة ، وبعد ذلك يمكن أن يحدث حدث آخر بطرق مختلفة n ، فإن العدد الإجمالي لوقائع الحدث بالترتيب المحدد هو m × n . |
وبالمثل ، بالنسبة لثلاثة أحداث ، يكون المبدأ كما يلي:
إذا كان من الممكن أن يحدث حدث ما بطرق مختلفة ، يتبعها حدث آخر n بطرق مختلفة ، وبعد ذلك يمكن أن يحدث حدث ثالث بطرق مختلفة ، فإن العدد الإجمالي لوقائع الحدث بالترتيب المحدد هو m × n × ص
في مثالنا ، كانت الطرق المختلفة لاختيار الفستان وحقيبة اليد هي عدد الطرق المختلفة لحدوث الحدث التالي على التوالي:
مثال 1: إعطاء 4 ألوان مختلفة من المصابيح الحمراء ، والأخضر ، والأزرق ، والأصفر. كم عدد الإشارات المختلفة التي يمكن إنشاؤها إذا كانت الإشارة تتطلب استخدام مصباحين أحدهما أسفل الآخر؟
الحل: هناك مكانان شاغران لملئهما بهذه المصابيح الملونة المختلفة. 
يمكن شغل المكان الشاغر العلوي بأي من المصابيح الأربعة ، وبالتالي يمكن ملء المكان العلوي بأربع طرق مختلفة. يمكن ملء المكان الشاغر السفلي بالمصابيح الثلاثة المتبقية ، وبالتالي يمكن ملء المساحة السفلية بثلاث طرق مختلفة. لذلك ، فإن العدد المطلوب من الإشارات التي يمكننا إنشاؤها باستخدام 4 لمبات هو 4 × 3 = 12.
نحن هنا نحسب تباديل 4 لمبات مختلفة مأخوذة 2 في كل مرة.
ناتج أول n من الأعداد الطبيعية 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n − 1) × n يسمى 'n عاملي' ويشار إليه بـ \(n!\)
تذكر \(0! = 1 \)
مثال 2: تقييم \(5!\)
الحل: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
يتم الإشارة إلى عدد التباديل لـ n من الكائنات المختلفة المأخوذة r في كل مرة بواسطة \(^nP_r\) . |
| عدد التباديل n من الكائنات المختلفة المأخوذة r في الوقت الذي يُسمح فيه بالتكرار هو \(n^r\) |
دعونا نفهم هاتين النظريتين باستخدام مثال.
مثال 3: ابحث عن عدد الكلمات المكونة من 4 أحرف مع أو بدون معنى ، والتي يمكن تشكيلها من أحرف كلمة HEAD ، حيث لا يُسمح بتكرار الأحرف.
الحل: باستخدام النظرية 1 ، \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) ، حيث n هي 4 و r هي 4 ، لذلك
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
الآن ضع في اعتبارك ما إذا كان تكرار الأحرف مسموحًا به ، فإن عدد التبديلات الممكنة وفقًا للنظرية 2 هي \(4^4 = 256\) .
مثال 4: أوجد عدد الطرق التي يمكن بها اختيار مدير المدرسة ونائبه من مجموعة من 10 أشخاص بحيث لا يستطيع نفس الشخص شغل المنصبين معًا.
الحل: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) في الوقت
| عدد التباديل للكائنات n ، حيث تكون الكائنات p 1 من نفس النوع ، و p 2 من النوع الثاني ، ... p k من النوع k والباقي ، إن وجد ، من نوع مختلف هو \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
دعونا نفهم تطبيق هذه النظرية باستخدام المثال أدناه
مثال 5: أوجد عدد الترتيبات الخاصة بأحرف كلمة INDEPENDENCE.
الحل: نظرًا لتكرار الأحرف ، نستخدم الصيغة \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . هناك 3 N و 4 E و 2 D و 1 I و 1 P و 1 C
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
دعنا نغير السؤال أعلاه على النحو التالي: ابحث عن عدد الترتيبات التي تبدأ فيها الكلمة بـ P
هنا نظرًا لأن موضع الحرف P ثابت ، فاحسب ترتيب الأحرف الـ 11 المتبقية.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
