একটি পারমুটেশন হল একটি গাণিতিক কৌশল যা একটি সেটে সম্ভাব্য বিন্যাসের সংখ্যা নির্ধারণ করে যখন বিন্যাসের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। আসুন নীচের উদাহরণ ব্যবহার করে এই ধারণাটি বুঝতে পারি:
স্টেসির 3টি পোশাক এবং 2টি হ্যান্ডব্যাগ রয়েছে৷ তিনটি উপায়ে একটি পোশাক বেছে নেওয়া যেতে পারে কারণ সেখানে 3টি পোশাক পাওয়া যায়। পোশাকের প্রতিটি পছন্দের জন্য, হ্যান্ডব্যাগের দুটি পছন্দ রয়েছে। অতএব, একটি পোশাক এবং একটি হ্যান্ডব্যাগের 3 × 2 = 6 জোড়া রয়েছে। 3টি পোশাককে D 1 , D 2, এবং D 3 এবং দুটি হ্যান্ডব্যাগকে H 1 এবং H 2 হিসাবে উপস্থাপন করা যাক। 
গণনার মৌলিক নীতি বলে যে-
| যদি একটি ঘটনা m বিভিন্ন উপায়ে ঘটতে পারে, যার পরে অন্য একটি ঘটনা n ভিন্ন উপায়ে ঘটতে পারে তাহলে প্রদত্ত ক্রমে ঘটনার মোট সংঘটিত হয় m × n । |
একইভাবে, তিনটি ঘটনার জন্য, নীতিটি নিম্নরূপ:
যদি একটি ঘটনা m বিভিন্ন উপায়ে ঘটতে পারে, যার পরে আরেকটি ঘটনা n ভিন্ন উপায়ে ঘটতে পারে, যার অনুসরণে একটি তৃতীয় ঘটনা p ভিন্ন উপায়ে ঘটতে পারে, তাহলে প্রদত্ত ক্রমে ঘটনার মোট সংঘটিত হয় m × n × পি
আমাদের উদাহরণে, একটি পোষাক এবং একটি হ্যান্ডব্যাগ বেছে নেওয়ার বিভিন্ন উপায়গুলি পরপর নিম্নলিখিত ইভেন্টের সংঘটনের বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা ছিল:
উদাহরণ 1: লাল, সবুজ, নীল এবং হলুদ আলোর বাল্বের 4 টি ভিন্ন রঙ দেওয়া হয়েছে। একটি সংকেতের জন্য অন্যটির নিচে দুটি বাল্ব ব্যবহারের প্রয়োজন হলে কয়টি ভিন্ন সংকেত উৎপন্ন হতে পারে?
সমাধান: এই চারটি ভিন্ন রঙের বাল্ব দিয়ে পূরণ করার জন্য দুটি খালি জায়গা রয়েছে। 
উপরের খালি জায়গাটি চারটি বাল্বের যেকোনো একটি দ্বারা দখল করা যেতে পারে, তাই উপরের স্থানটি 4টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। নীচের খালি জায়গাটি অবশিষ্ট 3টি বাল্ব দ্বারা পূরণ করা যেতে পারে, তাই নীচের স্থানটি 3টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। অতএব, প্রয়োজনীয় সংখ্যক সংকেত যা আমরা 4টি বাল্ব ব্যবহার করে তৈরি করতে পারি তা হল 4 × 3 =12।
এখানে আমরা একবারে 2টি নেওয়া 4টি ভিন্ন বাল্বের পারমুটেশন গণনা করছি।
প্রথম n প্রাকৃতিক সংখ্যা 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n এর গুণফলকে 'n ফ্যাক্টরিয়াল' বলা হয় এবং এটি \(n!\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
মনে রাখবেন \(0! = 1 \)
উদাহরণ 2: মূল্যায়ন \(5!\)
সমাধান: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
এক সময়ে নেওয়া n বিভিন্ন বস্তুর পারমুটেশনের সংখ্যা \(^nP_r\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। |
| n বিভিন্ন বস্তুর স্থানান্তরের সংখ্যা r একটি সময়ে নেওয়া হয় যেখানে পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত হয় \(n^r\) |
আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে এই দুটি উপপাদ্য বুঝতে পারি।
উদাহরণ 3: অর্থ সহ বা ছাড়া 4টি অক্ষরের শব্দের সংখ্যা খুঁজুন, যেগুলি HEAD শব্দের অক্ষরগুলি থেকে তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে অক্ষরগুলির পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত নয়৷
সমাধান: উপপাদ্য 1 ব্যবহার করে, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , যেখানে n হল 4 এবং r হল 4, তাই
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
এখন বিবেচনা করুন যদি অক্ষরের পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত হয়, তাহলে উপপাদ্য 2 অনুসারে সম্ভাব্য স্থানান্তরের সংখ্যা \(4^4 = 256\) ।
উদাহরণ 4: 10 জনের একটি গ্রুপ থেকে একজন প্রিন্সিপাল এবং ভাইস-প্রিন্সিপাল নির্বাচন করা যেতে পারে এমন সংখ্যা খুঁজুন যাতে একই ব্যক্তি উভয় পদে অধিষ্ঠিত হতে পারে না।
সমাধান: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) একেবারে
| n অবজেক্টের পারমুটেশনের সংখ্যা, যেখানে p 1 অবজেক্ট একই ধরনের, p 2 দ্বিতীয় ধরনের,... p k k তম ধরনের এবং বাকিগুলো, যদি থাকে, ভিন্ন ধরনের হয় \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
আসুন নীচের উদাহরণটি ব্যবহার করে এই উপপাদ্যটির প্রয়োগ বুঝতে পারি
উদাহরণ 5: INDEPENDENCE.
সমাধান: যেহেতু অক্ষরগুলি পুনরাবৃত্তি হচ্ছে, তাই আমরা সূত্র ব্যবহার করি \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P এবং 1 C আছে।
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
আসুন আমরা উপরের প্রশ্নটিকে এভাবে পরিবর্তন করি: বিন্যাসের সংখ্যা খুঁজে বের করুন যেখানে শব্দটি P দিয়ে শুরু হয়
এখানে যেহেতু P অক্ষরের অবস্থান ঠিক করা হয়েছে তাই বাকি 11টি অক্ষরের বিন্যাস গণনা করুন।
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
