Eine Permutation ist eine mathematische Technik, die die Anzahl möglicher Arrangements in einem Satz bestimmt, wenn die Reihenfolge der Arrangements wichtig ist. Lassen Sie uns dieses Konzept anhand des folgenden Beispiels verstehen:
Stacy hat 3 Kleider und 2 Handtaschen. Es gibt drei Möglichkeiten, ein Kleid auszuwählen, da 3 Kleider zur Verfügung stehen. Für jede Wahl eines Kleides gibt es zwei Möglichkeiten der Handtasche. Daher gibt es 3 × 2 = 6 Paar eines Kleides und einer Handtasche. Lassen Sie 3 Kleider als D 1 , D 2 und D 3 und die zwei Handtaschen als H 1 und H 2 darstellen. 
Das Grundprinzip des Zählens besagt, dass
| Wenn ein Ereignis auf m verschiedene Arten auftreten kann, gefolgt von einem anderen Ereignis auf n verschiedenen Arten, dann ist die Gesamtzahl der Vorkommen des Ereignisses in der gegebenen Reihenfolge m × n . |
In ähnlicher Weise gilt für drei Ereignisse das folgende Prinzip:
Wenn ein Ereignis auf m verschiedene Arten eintreten kann, gefolgt von einem weiteren Ereignis auf n verschiedenen Arten, gefolgt von einem dritten Ereignis auf p verschiedenen Arten, dann ist die Gesamtzahl der Vorkommen des Ereignisses in der gegebenen Reihenfolge m × n × P
In unserem Beispiel waren die verschiedenen Arten der Auswahl eines Kleides und einer Handtasche die Anzahl der verschiedenen Arten des Auftretens des folgenden Ereignisses in Folge:
Beispiel 1: Gegeben sind 4 verschiedene Farben von Glühbirnen rot, grün, blau und gelb. Wie viele verschiedene Signale können erzeugt werden, wenn für ein Signal zwei Glühbirnen untereinander benötigt werden?
Lösung: Es gibt zwei freie Plätze, die mit diesen vier verschiedenfarbigen Glühbirnen gefüllt werden können. 
Der obere freie Platz kann mit jeder der vier Glühbirnen besetzt werden, daher kann der obere Platz auf 4 verschiedene Arten gefüllt werden. Der untere freie Platz kann mit den verbleibenden 3 Glühbirnen gefüllt werden, daher kann der untere Platz auf 3 verschiedene Arten gefüllt werden. Daher ist die erforderliche Anzahl von Signalen, die wir mit 4 Lampen erzeugen können, 4 × 3 = 12.
Hier zählen wir die Permutationen von 4 verschiedenen Glühbirnen, die jeweils 2 genommen werden.
Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n heißt 'n Fakultät' und wird mit \(n!\) bezeichnet.
Denken Sie daran \(0! = 1 \)
Beispiel 2: \(5!\) auswerten
Lösung: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Objekten, die jeweils r genommen werden, wird mit \(^nP_r\) bezeichnet. |
| Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Objekten, die r gleichzeitig genommen werden, wo Wiederholung erlaubt ist, ist \(n^r\) |
Lassen Sie uns diese beiden Theoreme anhand eines Beispiels verstehen.
Beispiel 3: Finden Sie die Anzahl der 4-Buchstaben-Wörter mit oder ohne Bedeutung, die aus den Buchstaben des Wortes HEAD gebildet werden können, wobei die Wiederholung von Buchstaben nicht erlaubt ist.
Lösung: Mit Satz 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , wobei n gleich 4 und r gleich 4 ist, also
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Überlegen Sie nun, ob die Wiederholung von Buchstaben erlaubt ist, dann ist die Anzahl der möglichen Permutationen gemäß Theorem 2 \(4^4 = 256\) .
Beispiel 4: Finden Sie die Anzahl der Möglichkeiten heraus, wie ein Direktor und ein stellvertretender Direktor aus einer Gruppe von 10 Personen ausgewählt werden können, sodass dieselbe Person nicht beide Positionen bekleiden kann.
Lösung: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) zu einer Zeit
| Die Anzahl der Permutationen von n Objekten, wobei p 1 Objekte von der gleichen Art sind, p 2 von der zweiten Art sind, ... p k von der k -ten Art sind und der Rest, falls vorhanden, von einer anderen Art ist, ist \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Lassen Sie uns die Anwendung dieses Theorems anhand des folgenden Beispiels verstehen
Beispiel 5: Finden Sie die Anzahl der Anordnungen der Buchstaben des Wortes INDEPENDENCE.
Lösung: Da sich die Buchstaben wiederholen, verwenden wir die Formel \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Es gibt 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P und 1 C .
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Ändern wir die obige Frage wie folgt: Finden Sie die Anzahl der Anordnungen, bei denen das Wort mit P beginnt
Da hier die Position des Buchstabens P festgelegt ist, zählen Sie die Anordnung der verbleibenden 11 Buchstaben.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
