Una permutación es una técnica matemática que determina el número de arreglos posibles en un conjunto cuando importa el orden de los arreglos. Entendamos este concepto usando el siguiente ejemplo:
Stacy tiene 3 vestidos y 2 bolsos. Hay tres formas de elegir un vestido, ya que hay 3 vestidos disponibles. Por cada elección de vestido, hay dos opciones de bolso. Por lo tanto, hay 3 × 2 = 6 pares de un vestido y un bolso. Sean 3 vestidos representados como D 1 , D 2 y D 3 y los dos bolsos como H 1 y H 2 . 
El principio fundamental de contar establece que:
| Si un evento puede ocurrir de m maneras diferentes, después de lo cual otro evento puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el número total de ocurrencias del evento en el orden dado es m × n . |
De manera similar, para tres eventos, el principio es el siguiente:
Si un evento puede ocurrir de m maneras diferentes, luego de lo cual otro evento puede ocurrir de n formas diferentes, luego de lo cual un tercer evento puede ocurrir de p formas diferentes, entonces el número total de ocurrencias del evento en el orden dado es m × n × pag
En nuestro ejemplo, las diferentes formas de elegir un vestido y un bolso eran el número de diferentes formas de que ocurriera el siguiente evento en sucesión:
Ejemplo 1: dados 4 colores diferentes de bombillas, rojo, verde, azul y amarillo. ¿Cuántas señales diferentes se pueden generar si una señal requiere el uso de dos bombillas una debajo de la otra?
Solución: Hay dos lugares vacantes para llenar con estas cuatro bombillas de diferentes colores. 
El lugar vacante superior puede ser ocupado por cualquiera de las cuatro bombillas, por lo tanto, el lugar superior se puede llenar de 4 maneras diferentes. El lugar vacío inferior se puede llenar con las 3 bombillas restantes, por lo tanto, el espacio inferior se puede llenar de 3 formas diferentes. Por lo tanto, el número requerido de señales que podemos generar usando 4 bombillas es 4 × 3 = 12.
Aquí estamos contando las permutaciones de 4 bombillas diferentes tomadas de 2 a la vez.
El producto de los primeros n números naturales 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n se llama 'n factorial' y se denota por \(n!\)
Recuerda \(0! = 1 \)
Ejemplo 2: Evaluar \(5!\)
Solución: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez se denota por \(^nP_r\) . |
| El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r en un momento en el que se permite la repetición es \(n^r\) |
Entendamos ambos teoremas usando un ejemplo.
Ejemplo 3: Encuentra el número de palabras de 4 letras con o sin significado, que se pueden formar con las letras de la palabra HEAD , donde no se permite la repetición de letras.
Solución: Usando el teorema 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , donde n es 4 y r es 4, por lo tanto
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Ahora considere si se permite la repetición de letras, entonces el número de permutaciones posibles según el teorema 2 es \(4^4 = 256\) .
Ejemplo 4: Encuentre la cantidad de formas en que se puede elegir un director y un subdirector de un grupo de 10 personas de modo que la misma persona no pueda ocupar ambos puestos.
Solución: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) a la vez
| El número de permutaciones de n objetos, donde p 1 objetos son del mismo tipo, p 2 son del segundo tipo,... p k son del k- ésimo tipo y el resto, si los hay, son de un tipo diferente es \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Entendamos la aplicación de este teorema usando el siguiente ejemplo
Ejemplo 5: Encuentra el número de arreglos de las letras de la palabra INDEPENDENCE.
Solución: Como las letras se repiten, usamos la fórmula \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Hay 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P y 1 C
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Cambiemos la pregunta anterior como: encuentre el número de arreglos donde la palabra comienza con P
Aquí, como la posición de la letra P es fija, cuente la disposición de las 11 letras restantes.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
