جایگشت یک تکنیک ریاضی است که تعداد ترتیبات ممکن را در یک مجموعه در زمانی که ترتیب ترتیبات مهم است تعیین می کند. اجازه دهید این مفهوم را با استفاده از مثال زیر درک کنیم:
استیسی 3 لباس و 2 کیف دستی دارد. سه راه برای انتخاب لباس وجود دارد زیرا 3 لباس موجود است. برای هر انتخاب یک لباس، دو انتخاب از کیف دستی وجود دارد. بنابراین، 3 × 2 = 6 جفت یک لباس و یک کیف دستی وجود دارد. بگذارید 3 لباس به صورت D 1 ، D 2 و D 3 و دو کیف دستی به صورت H 1 و H 2 نشان داده شوند. 
اصل اساسی شمارش بیان می کند که -
| اگر یک رویداد می تواند به m روش های مختلف رخ دهد، به دنبال آن رویداد دیگری می تواند به n روش مختلف رخ دهد، تعداد کل وقوع رویداد در ترتیب داده شده m × n است. |
به طور مشابه، برای سه رویداد، اصل به شرح زیر است:
اگر یک رویداد می تواند به m روش های مختلف رخ دهد، پس از آن رویداد دیگری به n شکل مختلف رخ می دهد، پس از آن رویداد سوم می تواند به روش های مختلف p رخ دهد، تعداد کل وقوع رویداد به ترتیب داده شده m × n × است. پ
در مثال ما، روش‌های مختلف انتخاب لباس و کیف دستی به تعداد روش‌های مختلف وقوع رویداد زیر پی در پی بود:
مثال 1: با توجه به 4 رنگ مختلف لامپ قرمز، سبز، آبی و زرد. اگر یک سیگنال نیاز به استفاده از دو لامپ یکی زیر دیگری داشته باشد، چند سیگنال مختلف می تواند تولید شود؟
راه حل: دو جای خالی برای پر کردن با این چهار لامپ رنگی مختلف وجود دارد. 
جای خالی بالایی را می توان با هر یک از چهار لامپ اشغال کرد، از این رو مکان بالایی را می توان به 4 روش مختلف پر کرد. جای خالی پایینی را می توان با 3 لامپ باقی مانده پر کرد، بنابراین فضای پایین را می توان به 3 روش مختلف پر کرد. بنابراین، تعداد سیگنال های مورد نیازی که می توانیم با استفاده از 4 لامپ تولید کنیم، 4 × 3 = 12 است.
در اینجا ما جایگشت های 4 لامپ مختلف را که هر بار 2 عدد گرفته شده اند می شماریم.
حاصل ضرب n عدد طبیعی اول 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n 'n فاکتوریل' نامیده می شود و با \(n!\) نشان داده می شود.
به خاطر بسپار \(0! = 1 \)
مثال 2: ارزیابی \(5!\)
راه حل: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
تعداد جایگشت های n شی مختلف که r در یک زمان گرفته می شود با \(^nP_r\) نشان داده می شود. |
| تعداد جایگشت های n شی مختلف که r در زمانی که تکرار مجاز است، گرفته شده است \(n^r\) |
اجازه دهید هر دوی این قضیه ها را با استفاده از یک مثال درک کنیم.
مثال 3: تعداد کلمات 4 حرفی با یا بدون معنی را که می توان از حروف کلمه HEAD تشکیل داد، در جایی که تکرار حروف مجاز نیست، پیدا کنید.
راه حل: با استفاده از قضیه 1، \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) ، که در آن n برابر 4 و r برابر 4 است، بنابراین
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
حال در نظر بگیرید که آیا تکرار حروف مجاز است، پس تعداد جایگشت های ممکن طبق قضیه 2 \(4^4 = 256\) است.
مثال 4: تعداد راه هایی را که می توان از بین یک گروه 10 نفره یک مدیر و معاون انتخاب کرد به گونه ای که یک فرد نتواند هر دو سمت را داشته باشد، بیابید.
راه حل: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) در یک زمان
| تعداد جایگشت های n شیء، که در آن شیء p 1 از یک نوع هستند، p 2 از نوع دوم هستند، ... p k از نوع k هستند و بقیه، در صورت وجود، از نوع دیگری هستند \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
اجازه دهید کاربرد این قضیه را با استفاده از مثال زیر درک کنیم
مثال 5: تعداد چینش حروف کلمه INDEPENDENCE.
راه حل: همانطور که حروف تکرار می شوند، از فرمول \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) استفاده می کنیم. 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P و 1 C وجود دارد.
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
اجازه دهید سوال بالا را به این صورت تغییر دهیم: تعداد ترتیباتی را که کلمه با P شروع می شود پیدا کنید
در اینجا چون موقعیت حرف P ثابت است، ترتیب 11 حرف باقیمانده را بشمارید.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
