Une permutation est une technique mathématique qui détermine le nombre d'arrangements possibles dans un ensemble lorsque l'ordre des arrangements est important. Comprenons ce concept en utilisant l'exemple ci-dessous :
Stacy a 3 robes et 2 sacs à main. Il y a trois façons de choisir une robe car il y a 3 robes disponibles. Pour chaque choix de robe, il y a deux choix de sac à main. Par conséquent, il y a 3 × 2 = 6 paires d'une robe et d'un sac à main. Soit 3 robes représentées par D 1 , D 2 et D 3 et les deux sacs à main par H 1 et H 2 . 
Le principe fondamental du comptage stipule que-
| Si un événement peut se produire de m manières différentes, après quoi un autre événement peut se produire de n manières différentes, alors le nombre total d'occurrences de l'événement dans l'ordre donné est m × n . |
de même, pour trois événements, le principe est le suivant :
Si un événement peut se produire de m manières différentes, après quoi un autre événement se produit de n manières différentes, après quoi un troisième événement peut se produire de p manières différentes, alors le nombre total d'occurrences de l'événement dans l'ordre donné est m × n × p
Dans notre exemple, les différentes manières de choisir une robe et un sac à main étaient le nombre de manières différentes de se produire successivement l'événement suivant :
Exemple 1 : Étant donné 4 couleurs différentes d'ampoules rouges, vertes, bleues et jaunes. Combien de signaux différents peuvent être générés si un signal nécessite l'utilisation de deux ampoules l'une en dessous de l'autre ?
Solution : Il y a deux places vacantes à remplir avec ces quatre ampoules de couleurs différentes. 
La place vacante supérieure peut être occupée par l'une des quatre ampoules, la place supérieure peut donc être remplie de 4 manières différentes. La place vacante inférieure peut être remplie par les 3 ampoules restantes, donc l'espace inférieur peut être rempli de 3 manières différentes. Par conséquent, le nombre requis de signaux que nous pouvons générer en utilisant 4 ampoules est de 4 × 3 = 12.
Ici nous comptons les permutations de 4 ampoules différentes prises 2 à la fois.
Le produit des n premiers nombres naturels 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n est appelé 'n factoriel' et est noté \(n!\)
Rappelez-vous \(0! = 1 \)
Exemple 2 : Évaluer \(5!\)
Solution : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Le nombre de permutations de n objets différents pris r à la fois est noté \(^nP_r\) . |
| Le nombre de permutations de n objets différents pris r à un moment où la répétition est autorisée est \(n^r\) |
Comprenons ces deux théorèmes à l'aide d'un exemple.
Exemple 3 : Trouver le nombre de mots de 4 lettres avec ou sans signification, qui peuvent être formés à partir des lettres du mot HEAD , où la répétition des lettres n'est pas autorisée.
Solution : En utilisant le théorème 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , où n vaut 4 et r vaut 4, donc
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Considérons maintenant si la répétition des lettres est autorisée, alors le nombre de permutations possibles selon le théorème 2 est \(4^4 = 256\) .
Exemple 4 : Trouvez le nombre de façons dont un directeur et un directeur adjoint peuvent être choisis parmi un groupe de 10 personnes de sorte que la même personne ne puisse pas occuper les deux postes.
Solution : \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) à la fois
| Le nombre de permutations de n objets, où p 1 objets sont du même type, p 2 sont du second type,... p k sont du k ème type et les autres, s'il y en a, sont d'un type différent est \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Comprenons l'application de ce théorème en utilisant l'exemple ci-dessous
Exemple 5 : Trouver le nombre d'arrangements des lettres du mot INDEPENDENCE.
Solution : Comme les lettres se répètent, nous utilisons la formule \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Il y a 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P et 1 C .
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Modifions la question ci-dessus comme suit : trouver le nombre d'arrangements où le mot commence par P
Ici, comme la position de la lettre P est fixe, comptez la disposition des 11 lettres restantes.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
