क्रमचय एक गणितीय तकनीक है जो एक सेट में संभावित व्यवस्थाओं की संख्या निर्धारित करती है जब व्यवस्थाओं का क्रम मायने रखता है। आइए नीचे दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इस अवधारणा को समझें:
स्टेसी के पास 3 ड्रेस और 2 हैंडबैग हैं। ऐसे तीन तरीके हैं जिनमें एक ड्रेस का चयन किया जा सकता है क्योंकि 3 ड्रेस उपलब्ध हैं। पोशाक की हर पसंद के लिए, हैंडबैग के दो विकल्प होते हैं। इसलिए, एक ड्रेस और एक हैंडबैग के 3 × 2 = 6 जोड़े हैं। मान लीजिए कि 3 पोशाकों को D 1 , D 2, और D 3 के रूप में दर्शाया गया है और दो हैंडबैग को H 1 और H 2 के रूप में दर्शाया गया है। 
मतगणना का मूल सिद्धांत कहता है कि-
| यदि एक घटना m विभिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, जिसके बाद दूसरी घटना n विभिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटना की कुल संख्या m × n है। |
इसी तरह, तीन घटनाओं के लिए सिद्धांत इस प्रकार है:
यदि एक घटना m विभिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, जिसके बाद दूसरी घटना n विभिन्न तरीकों से घटित होती है, जिसके बाद तीसरी घटना p भिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटना के घटित होने की कुल संख्या है m × n × पी
हमारे उदाहरण में, एक पोशाक और एक हैंडबैग चुनने के विभिन्न तरीके निम्नलिखित घटनाओं के क्रमिक रूप से घटित होने के विभिन्न तरीकों की संख्या थे:
उदाहरण 1: प्रकाश बल्बों के 4 अलग-अलग रंगों लाल, हरा, नीला और पीला दिया गया है। यदि किसी सिग्नल को एक के नीचे एक दो बल्बों के उपयोग की आवश्यकता हो तो कितने विभिन्न सिग्नल उत्पन्न हो सकते हैं?
हल: इन चार अलग-अलग रंग के बल्बों से भरने के लिए दो खाली स्थान हैं। 
ऊपर की खाली जगह को चार बल्बों में से किसी एक से भरा जा सकता है, इसलिए ऊपर की जगह को 4 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। नीचे की खाली जगह को बाकी बचे 3 बल्बों से भरा जा सकता है, इसलिए नीचे की जगह को 3 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। इसलिए, 4 बल्बों का उपयोग करके हम जो सिग्नल उत्पन्न कर सकते हैं, उनकी आवश्यक संख्या 4 × 3 = 12 है।
यहां हम एक बार में 2 लेकर 4 अलग-अलग बल्बों के क्रमचय की गणना कर रहे हैं।
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का गुणनफल 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n को 'n भाज्य' कहा जाता है और \(n!\) द्वारा निरूपित किया जाता है।
याद रखें \(0! = 1 \)
उदाहरण 2: \(5!\) का मूल्यांकन करें
हल: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
एक समय में r ली गई n विभिन्न वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या को \(^nP_r\) द्वारा निरूपित किया जाता है। |
| एक समय में r ली गई n विभिन्न वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है \(n^r\) |
आइए इन दोनों प्रमेयों को एक उदाहरण से समझते हैं।
उदाहरण 3: शब्द HEAD के अक्षरों से अर्थ सहित या अर्थहीन 4 अक्षरों वाले शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए, जहाँ अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।
हल: प्रमेय 1 का प्रयोग करके, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , जहाँ n 4 है और r 4 है, इसलिए
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
अब विचार करें कि यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, तो प्रमेय 2 के अनुसार संभावित क्रमपरिवर्तन की संख्या \(4^4 = 256\) हैं।
उदाहरण 4: 10 लोगों के एक समूह में से एक प्रधान और उप-प्रधानाचार्य को कितने तरीकों से चुना जा सकता है कि एक ही व्यक्ति दोनों पदों को धारण नहीं कर सकता है।
हल: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) एक ही समय पर
| n वस्तुओं के क्रमचय की संख्या, जहाँ p 1 वस्तु एक ही प्रकार की है, p 2 दूसरी प्रकार की है,... p k k वें प्रकार की है और बाकी, यदि कोई है, भिन्न प्रकार की है \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
आइए नीचे दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग को समझें
उदाहरण 5: INDEPENDENCE.
समाधान: चूंकि अक्षर दोहरा रहे हैं, इसलिए हम \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) सूत्र का उपयोग करते हैं। 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P और 1 C हैं।
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
आइए उपरोक्त प्रश्न को इस प्रकार बदलते हैं: उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करें जहां शब्द P से शुरू होता है
यहाँ अक्षर P की स्थिति निश्चित होने के कारण शेष 11 अक्षरों की व्यवस्था गिनें।
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
