Una permutazione è una tecnica matematica che determina il numero di possibili arrangiamenti in un insieme quando l'ordine degli arrangiamenti conta. Cerchiamo di capire questo concetto usando l'esempio seguente:
Stacy ha 3 vestiti e 2 borse. Ci sono tre modi in cui è possibile scegliere un abito in quanto vi sono 3 abiti disponibili. Per ogni scelta di un vestito, ci sono due scelte della borsetta. Pertanto, ci sono 3 × 2 = 6 paia di un vestito e una borsa. Si rappresentino 3 abiti come D 1 , D 2 e D 3 e le due borsette come H 1 e H 2 . 
Il principio fondamentale del conteggio afferma che-
| Se un evento può verificarsi in m modi diversi, dopo di che un altro evento può verificarsi in n modi diversi, allora il numero totale di occorrenze dell'evento nell'ordine dato è m × n . |
analogamente, per tre eventi, il principio è il seguente:
Se un evento può verificarsi in m modi diversi, a seguito del quale un altro evento si verifica in n modi diversi, a seguito del quale un terzo evento può verificarsi in p modi diversi, allora il numero totale di occorrenze dell'evento nell'ordine dato è m × n × P
Nel nostro esempio, i diversi modi di scegliere un vestito e una borsa erano il numero di diversi modi in cui si verificava in successione il seguente evento:
Esempio 1: Dati 4 diversi colori di lampadine rosso, verde, blu e giallo. Quanti segnali diversi si possono generare se un segnale richiede l'utilizzo di due lampadine una sotto l'altra?
Soluzione: ci sono due posti liberi da riempire con queste quattro lampadine di colore diverso. 
Il posto libero superiore può essere occupato da una qualsiasi delle quattro lampadine, quindi il posto superiore può essere riempito in 4 modi diversi. Il posto vuoto inferiore può essere riempito dalle restanti 3 lampadine, quindi lo spazio inferiore può essere riempito in 3 modi diversi. Pertanto, il numero richiesto di segnali che possiamo generare utilizzando 4 lampadine è 4 × 3 = 12.
Qui stiamo contando le permutazioni di 4 diverse lampadine prese 2 alla volta.
Il prodotto dei primi n numeri naturali 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n è detto 'n fattoriale' ed è indicato con \(n!\)
Ricorda \(0! = 1 \)
Esempio 2: Valuta \(5!\)
Soluzione: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Il numero di permutazioni di n oggetti diversi presi r alla volta è indicato da \(^nP_r\) . |
| Il numero di permutazioni di n oggetti diversi presi r in un momento in cui è consentita la ripetizione è \(n^r\) |
Comprendiamo entrambi questi teoremi usando un esempio.
Esempio 3: trova il numero di parole di 4 lettere con o senza significato, che possono essere formate dalle lettere della parola HEAD , dove la ripetizione delle lettere non è consentita.
Soluzione: Usando il teorema 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , dove n è 4 e r è 4, quindi
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Ora considera se la ripetizione di lettere è consentita, quindi il numero di permutazioni possibili secondo il teorema 2 è \(4^4 = 256\) .
Esempio 4: trova il numero di modi in cui un preside e un vicepreside possono essere scelti da un gruppo di 10 persone in modo tale che la stessa persona non possa ricoprire entrambe le posizioni.
Soluzione: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) Al tempo
| Il numero di permutazioni di n oggetti, dove p 1 oggetti sono dello stesso tipo, p 2 sono del secondo tipo,... p k sono del k -esimo tipo e gli altri, se ce ne sono, sono di un tipo diverso è \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Cerchiamo di capire l'applicazione di questo teorema usando l'esempio seguente
Esempio 5: trova il numero di arrangiamenti delle lettere della parola INDEPENDENCE.
Soluzione: Poiché le lettere si ripetono, usiamo la formula \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Ci sono 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P e 1 C .
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Modifichiamo la domanda precedente come: trova il numero di arrangiamenti in cui la parola inizia con P
Qui, poiché la posizione della lettera P è fissa, conta la disposizione delle restanti 11 lettere.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
