順列とは、配列の順序が重要な場合に、セット内で可能な配列の数を決定する数学的手法です。以下の例を使用して、この概念を理解してみましょう。
ステイシーは 3 つのドレスと 2 つのハンドバッグを持っています。ドレスは3種類ありますので、ドレスの選び方は3通りあります。ドレスを選ぶたびに、ハンドバッグには 2 つの選択肢があります。したがって、ドレスとハンドバッグのペアは 3 × 2 = 6 組です。 3 つのドレスを D 1 、D 2および D 3として表し、2 つのハンドバッグを H 1および H 2として表します。 
カウントの基本原則は、次のように述べています。
| イベントがm 個の異なる方法で発生し、その後別のイベントがn 個の異なる方法で発生する場合、指定された順序でのイベントの合計発生回数はm × nです。 |
同様に、3 つのイベントの場合、原則は次のとおりです。
あるイベントが m 個の異なる方法で発生し、その後別のイベントが n 個の異なる方法で発生し、その後に 3 番目のイベントが p 個の異なる方法で発生する場合、指定された順序でのイベントの合計発生回数は m × n × p
この例では、ドレスとハンドバッグを選択するさまざまな方法は、次のイベントが連続して発生するさまざまな方法の数でした。
例 1:赤、緑、青、黄の 4 色の電球があるとします。上下に 2 つの電球を使用する必要がある場合、いくつの異なる信号を生成できますか?
解決策:これらの 4 つの異なる色の電球を埋めるための 2 つの空いている場所があります。 
上部の空いた場所は 4 つの電球のいずれかで占有できるため、4 つの異なる方法で上部の場所を埋めることができます。残りの3個の電球で下の空きスペースを埋めることができるので、3通りの方法で下のスペースを埋めることができます。したがって、4 つの電球を使用して生成できる必要な信号の数は、4 × 3 = 12 です。
ここでは、一度に 2 つ取得した 4 つの異なる電球の順列を数えています。
最初の n 個の自然数 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n の積は「n 階乗」と呼ばれ、 \(n!\)で表されます。
\(0! = 1 \)覚えておいてください
例 2: \(5!\)を評価する
解: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
一度に r を取得した n 個の異なるオブジェクトの順列の数は\(^nP_r\)で示されます。 |
| 反復が許可されている時点で r を取得した n 個の異なるオブジェクトの順列の数は\(n^r\)です。 |
例を使用して、これらの定理の両方を理解しましょう。
例 3:意味のある、または意味のない 4 文字の単語の数を見つけます。この単語は、単語HEADの文字から形成できますが、文字の繰り返しは許可されていません。
解決策:定理 1 \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\)使用すると、n は 4、r は 4 となります。
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
ここで、文字の繰り返しが許可されているかどうかを考えてみましょう。定理 2 による可能な順列の数は\(4^4 = 256\)です。
例 4: 10 人のグループから校長と副校長を選ぶ方法の数を見つけて、同じ人が両方の役職に就くことができないようにします。
解: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\)一度に
| n 個のオブジェクトの順列の数。ここで、p 1オブジェクトは同じ種類、p 2は第 2 種類、... p kは k番目の種類であり、残りが存在する場合、異なる種類は\(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \)です。 \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
以下の例を使用して、この定理の適用を理解しましょう
例 5: INDEPENDENCE.
解決策:文字が繰り返されるため、式\(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \)使用します。 Nが 3 つ、 E 4 つ、 D 2 つ、 Iが 1 つ、 Pが 1 つ、 Cが 1 つです。
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
上記の質問を次のように変更しましょう:単語がPで始まる配置の数を見つけます
ここでPの位置は決まっているので、残りの11文字の並びを数えます。
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
