क्रमपरिवर्तन एक गणितीय प्रविधि हो जसले सेटमा सम्भावित व्यवस्थाहरूको संख्या निर्धारण गर्दछ जब व्यवस्थाको क्रम महत्त्वपूर्ण हुन्छ। तलको उदाहरण प्रयोग गरेर यो अवधारणा बुझौं:
स्टेसीसँग ३ वटा लुगा र २ वटा ह्यान्डब्याग छन् । त्यहाँ तीनवटा तरिकाहरू छन् जसमा पोशाक छनोट गर्न सकिन्छ किनकि त्यहाँ 3 पोशाकहरू उपलब्ध छन्। पोशाकको प्रत्येक छनोटको लागि, ह्यान्डब्यागको दुई विकल्पहरू छन्। त्यसकारण, त्यहाँ 3 × 2 = 6 जोडी पोशाक र ह्यान्डब्याग छन्। 3 लुगाहरू D 1 , D 2, र D 3 र दुई ह्यान्डब्यागहरूलाई H 1 र H 2 को रूपमा प्रस्तुत गरौं। 
गणनाको आधारभूत सिद्धान्तले भन्छ-
| यदि घटना m विभिन्न तरिकामा हुन सक्छ, त्यसपछि अर्को घटना n फरक तरिकामा हुन सक्छ भने दिइएको क्रममा घटनाको कुल संख्या m × n हो। |
त्यसै गरी, तीन घटनाहरूको लागि, सिद्धान्त निम्नानुसार छ:
यदि कुनै घटना m विभिन्न तरिकामा हुन सक्छ, त्यसपछि अर्को घटना n फरक तरिकाले हुन्छ, त्यसपछि तेस्रो घटना p फरक तरिकामा हुन सक्छ, त्यसपछि दिइएको क्रममा घटनाको कुल संख्या m × n × हुन्छ। p
हाम्रो उदाहरणमा, लुगा र ह्यान्डब्याग छनौट गर्ने विभिन्न तरिकाहरू क्रमशः निम्न घटनाको घटनाको विभिन्न तरिकाहरूको संख्या थिए:
उदाहरण १: रातो, हरियो, नीलो र पहेँलो लाइट बल्बका ४ फरक रङहरू दिइयो। यदि एउटा संकेतलाई अर्कोको मुनि दुईवटा बल्बको प्रयोग आवश्यक छ भने कतिवटा फरक संकेतहरू उत्पन्न गर्न सकिन्छ?
समाधान: यी चार फरक रङका बल्बहरू भर्नका लागि दुईवटा खाली ठाउँहरू छन्। 
माथिल्लो खाली ठाउँलाई चारवटा बल्बहरू मध्ये कुनै पनिले ओगट्न सक्छ, त्यसैले माथिल्लो ठाउँलाई ४ फरक तरिकाले भर्न सकिन्छ। तल्लो खाली ठाउँलाई बाँकी ३ बल्बले भर्न सकिन्छ, त्यसैले तल्लो ठाउँलाई ३ फरक तरिकाले भर्न सकिन्छ। त्यसकारण, हामीले ४ बल्बहरू प्रयोग गरेर उत्पन्न गर्न सक्ने सङ्केतहरूको आवश्यक सङ्ख्या ४ × ३ = १२ हो।
यहाँ हामी एक पटकमा २ वटा लिइएका ४ फरक बल्बको क्रमपरिवर्तन गणना गर्दैछौँ।
पहिलो n प्राकृतिक संख्याहरू 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n को गुणन 'n factorial' भनिन्छ र \(n!\) द्वारा जनाइएको छ।
सम्झनुहोस् \(0! = 1 \)
उदाहरण २: मूल्याङ्कन गर्नुहोस् \(5!\)
समाधान: ५ × ४ × ३ × २ × १ = १२०
एक पटकमा r लिइएका विभिन्न वस्तुहरूको क्रमपरिवर्तनको संख्या \(^nP_r\) द्वारा जनाइएको छ। |
| दोहोरिने अनुमति दिइएको समयमा n विभिन्न वस्तुहरूको क्रमपरिवर्तनको सङ्ख्या r लिइन्छ \(n^r\) |
यी दुवै प्रमेयलाई एउटा उदाहरण प्रयोग गरेर बुझौं।
उदाहरण 3: HEAD शब्दको अक्षरहरूबाट बन्न सकिने अर्थ सहित वा बिना 4 अक्षरका शब्दहरूको सङ्ख्या पत्ता लगाउनुहोस्, जहाँ अक्षरहरू दोहोरिने अनुमति छैन।
समाधान: प्रमेय 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) प्रयोग गर्दै, जहाँ n 4 र r 4 हो, त्यसैले
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
अब विचार गर्नुहोस् यदि अक्षरहरूको दोहोरिने अनुमति छ भने, प्रमेय 2 अनुसार सम्भव क्रमपरिवर्तनको संख्या \(4^4 = 256\) हो।
उदाहरण ४: एउटै व्यक्तिले दुवै पद धारण गर्न नसक्ने गरी १० जनाको समूहबाट प्रिन्सिपल र उप-प्राचार्य छान्न सकिने तरिका पत्ता लगाउनुहोस्।
समाधान: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) एक समय मा
| n वस्तुहरूको क्रमपरिवर्तनको संख्या, जहाँ p 1 वस्तुहरू एउटै प्रकारका हुन्छन्, p 2 दोस्रो प्रकारका हुन्छन्,... p k k प्रकारका हुन्छन् र बाँकी, यदि कुनै छन् भने, फरक प्रकारका हुन्छन् \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
तलको उदाहरण प्रयोग गरेर यस प्रमेयको प्रयोगलाई बुझौं
उदाहरण ५: INDEPENDENCE.
समाधान: जसरी अक्षरहरू दोहोरिन्छन्, त्यसैले हामी सूत्र प्रयोग गर्छौं \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) त्यहाँ 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P र 1 C छन्।
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
माथिको प्रश्नलाई यसरी परिवर्तन गरौं: P बाट शब्द सुरु हुने व्यवस्थाहरूको संख्या पत्ता लगाउनुहोस्
यहाँ अक्षर P को स्थिति निश्चित छ त्यसैले बाँकी 11 अक्षरहरूको व्यवस्था गणना गर्नुहोस्।
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
