Permutacja to technika matematyczna określająca liczbę możliwych układów w zbiorze, gdy kolejność układów ma znaczenie. Pozwól nam zrozumieć tę koncepcję, korzystając z poniższego przykładu:
Stacy ma 3 sukienki i 2 torebki. Suknię można wybrać na trzy sposoby, ponieważ dostępne są 3 sukienki. Do każdego wyboru sukienki są dwie opcje torebki. W związku z tym jest 3 × 2 = 6 par sukienki i torebki. Niech 3 sukienki będą reprezentowane jako D 1 , D 2 i D 3 , a dwie torebki jako H 1 i H 2 . 
Podstawowa zasada liczenia mówi, że:
| Jeśli zdarzenie może wystąpić na m różnych sposobów, po czym inne zdarzenie może wystąpić na n różnych sposobów, to całkowita liczba wystąpień zdarzenia w danej kolejności wynosi m × n . |
podobnie dla trzech zdarzeń zasada jest następująca:
Jeżeli zdarzenie może wystąpić na m różnych sposobów, po czym inne zdarzenie może wystąpić na n różnych sposobów, po czym trzecie zdarzenie może nastąpić na p różnych sposobów, to całkowita liczba wystąpień zdarzenia w podanej kolejności wynosi m × n × P
W naszym przykładzie różne sposoby wyboru sukienki i torebki były liczbą różnych sposobów następującego po sobie zdarzenia:
Przykład 1: Biorąc pod uwagę 4 różne kolory żarówek: czerwoną, zieloną, niebieską i żółtą. Ile różnych sygnałów można wygenerować, jeśli sygnał wymaga użycia dwóch żarówek umieszczonych jedna pod drugą?
Rozwiązanie: Są dwa wolne miejsca do wypełnienia tymi czterema żarówkami w różnych kolorach. 
Górne wolne miejsce może być zajęte przez dowolną z czterech żarówek, stąd górne miejsce można zapełnić na 4 różne sposoby. Niższe wolne miejsce można wypełnić pozostałymi 3 żarówkami, stąd dolne miejsce można wypełnić na 3 różne sposoby. Dlatego wymagana liczba sygnałów, które możemy wygenerować za pomocą 4 żarówek, wynosi 4 × 3 = 12.
Tutaj liczymy permutacje 4 różnych żarówek wziętych po 2 na raz.
Iloczyn pierwszych n liczb naturalnych 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n nazywamy „n silnią” i oznaczamy \(n!\)
Pamiętaj \(0! = 1 \)
Przykład 2: Oceń \(5!\)
Rozwiązanie: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Liczba permutacji n różnych obiektów wykonanych r na raz jest oznaczona przez \(^nP_r\) . |
| Liczba permutacji n różnych obiektów wykonanych r w czasie, w którym dozwolone jest powtarzanie, wynosi \(n^r\) |
Zrozummy oba te twierdzenia na przykładzie.
Przykład 3: Znajdź liczbę 4-literowych słów ze znaczeniem lub bez, które można utworzyć z liter słowa HEAD , gdzie powtórzenie liter jest niedozwolone.
Rozwiązanie: Korzystając z twierdzenia 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , gdzie n wynosi 4, a r wynosi 4, zatem
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Rozważmy teraz, czy powtórzenie liter jest dozwolone, to liczba możliwych permutacji zgodnie z twierdzeniem 2 wynosi \(4^4 = 256\) .
Przykład 4: Znajdź liczbę sposobów, na jakie można wybrać dyrektora i wicedyrektora z grupy 10 osób, tak aby ta sama osoba nie mogła pełnić obu tych funkcji.
Rozwiązanie: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) na czas
| Liczba permutacji n obiektów, gdzie p 1 obiektów jest tego samego rodzaju, p 2 jest drugiego rodzaju,... p k jest k- tego rodzaju, a pozostałe, jeśli występują, są innego rodzaju, to \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Pozwól nam zrozumieć zastosowanie tego twierdzenia na poniższym przykładzie
Przykład 5: Znajdź liczbę układów liter słowa INDEPENDENCE.
Rozwiązanie: Ponieważ litery się powtarzają, używamy wzoru \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Jest 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P i 1 C .
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Zmieńmy powyższe pytanie na: znajdź liczbę układów, w których słowo zaczyna się na literę P
Tutaj, ponieważ pozycja litery P jest ustalona, policz układ pozostałych 11 liter.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
