Uma permutação é uma técnica matemática que determina o número de arranjos possíveis em um conjunto quando a ordem dos arranjos importa. Vamos entender esse conceito usando o exemplo abaixo:
Stacy tem 3 vestidos e 2 bolsas. Existem três maneiras de escolher um vestido, pois há 3 vestidos disponíveis. Para cada escolha de vestido, existem duas opções de bolsa. Portanto, existem 3 × 2 = 6 pares de vestido e bolsa. Sejam 3 vestidos representados como D 1 , D 2 e D 3 e as duas bolsas como H 1 e H 2 . 
O princípio fundamental da contagem afirma que-
| Se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes, após o qual outro evento pode ocorrer de n maneiras diferentes, o número total de ocorrências do evento na ordem dada é m × n . |
da mesma forma, para três eventos, o princípio é o seguinte:
Se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes, após o qual outro evento ocorre de n maneiras diferentes, seguindo o qual um terceiro evento pode ocorrer de p maneiras diferentes, então o número total de ocorrências do evento na ordem dada é m × n × p
Em nosso exemplo, as diferentes maneiras de escolher um vestido e uma bolsa foram o número de maneiras diferentes de ocorrer o seguinte evento sucessivamente:
Exemplo 1: Dadas 4 cores diferentes de lâmpadas: vermelho, verde, azul e amarelo. Quantos sinais diferentes podem ser gerados se um sinal exigir o uso de duas lâmpadas uma abaixo da outra?
Solução: Há dois lugares vagos para preencher com essas quatro lâmpadas de cores diferentes. 
O lugar vago superior pode ser ocupado por qualquer uma das quatro lâmpadas, portanto, o lugar superior pode ser preenchido de 4 maneiras diferentes. O espaço inferior vago pode ser preenchido pelas 3 lâmpadas restantes, portanto, o espaço inferior pode ser preenchido de 3 maneiras diferentes. Portanto, o número necessário de sinais que podemos gerar usando 4 lâmpadas é 4 × 3 = 12.
Aqui estamos contando as permutações de 4 lâmpadas diferentes tomadas 2 de cada vez.
O produto dos primeiros n números naturais 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n é chamado de 'n fatorial' e é denotado por \(n!\)
Lembre-se \(0! = 1 \)
Exemplo 2: avalie \(5!\)
Solução: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
O número de permutações de n objetos diferentes tomados r de cada vez é denotado por \(^nP_r\) . |
| O número de permutações de n objetos diferentes tomados r em um momento em que a repetição é permitida é \(n^r\) |
Vamos entender esses dois teoremas usando um exemplo.
Exemplo 3: Encontre o número de palavras de 4 letras com ou sem significado, que podem ser formadas a partir das letras da palavra HEAD , onde não é permitida a repetição de letras.
Solução: Usando o teorema 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , onde n é 4 e r é 4, portanto
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Agora considere se a repetição de letras é permitida, então o número de permutações possíveis de acordo com o teorema 2 é \(4^4 = 256\) .
Exemplo 4: Encontre o número de maneiras pelas quais um diretor e um vice-diretor podem ser escolhidos em um grupo de 10 pessoas, de modo que a mesma pessoa não possa ocupar os dois cargos.
Solução: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) de uma vez
| O número de permutações de n objetos, onde p 1 objetos são do mesmo tipo, p 2 são do segundo tipo,... p k são do k th tipo e o resto, se houver, são de um tipo diferente é \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Vamos entender a aplicação deste teorema usando o exemplo abaixo
Exemplo 5: Encontre o número de arranjos das letras da palavra INDEPENDENCE.
Solução: Como as letras se repetem, usamos a fórmula \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Existem 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P e 1 C .
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Vamos mudar a questão acima como: encontre o número de arranjos onde a palavra começa com P
Aqui, como a posição da letra P é fixa, conte o arranjo das 11 letras restantes.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
