Перестановка — это математический метод, который определяет количество возможных аранжировок в наборе, когда порядок аранжировок имеет значение. Давайте разберемся с этой концепцией, используя приведенный ниже пример:
У Стейси 3 платья и 2 сумки. Платье можно выбрать тремя способами, так как доступно 3 платья. На каждый выбор платья есть два варианта сумочки. Следовательно, имеется 3 × 2 = 6 пар платья и сумочки. Пусть 3 платья представлены как D 1 , D 2 и D 3 , а две сумки — как H 1 и H 2 . 
Фундаментальный принцип подсчета гласит, что:
| Если событие может произойти m различными способами, после чего другое событие может произойти n различными способами, то общее количество появлений события в данном порядке равно m × n . |
аналогично, для трех событий принцип следующий:
Если событие может произойти m различными способами, после чего другое событие может произойти n различными способами, после чего третье событие может произойти p различными способами, то общее число появлений события в данном порядке равно m × n × п
В нашем примере различные способы выбора платья и сумочки представляли собой количество различных способов последовательного наступления следующего события :
Пример 1: Даны 4 лампочки разных цветов: красный, зеленый, синий и желтый. Сколько различных сигналов можно получить, если для получения сигнала необходимо использовать две лампочки, расположенные одна под другой?
Решение: есть два свободных места, которые нужно заполнить этими четырьмя разноцветными лампочками. 
Верхнее свободное место может быть занято любой из четырех лампочек, следовательно, верхнее место можно заполнить 4 разными способами. Нижнее свободное место может быть заполнено оставшимися 3 лампочками, поэтому нижнее пространство можно заполнить 3 различными способами. Следовательно, необходимое количество сигналов, которые мы можем сгенерировать с помощью 4 лампочек, равно 4 × 3 = 12.
Здесь мы подсчитываем перестановки 4 разных лампочек, взятых по 2 за раз.
Произведение первых n натуральных чисел 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n − 1) × n называется «n факториалом» и обозначается \(n!\)
Помните \(0! = 1 \)
Пример 2: вычислить \(5!\)
Решение: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Количество перестановок n различных объектов, взятых по r за раз, обозначается \(^nP_r\) . |
| Количество перестановок n различных объектов, взятых r за время, когда разрешено повторение, равно \(n^r\) |
Разберем обе эти теоремы на примере.
Пример 3: Найдите количество 4-буквенных слов со значением или без него, которые можно составить из букв слова HEAD , где повторение букв не допускается.
Решение: Используя теорему 1, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , где n равно 4 и r равно 4, поэтому
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Теперь рассмотрим, разрешено ли повторение букв, тогда количество возможных перестановок согласно теореме 2 равно \(4^4 = 256\) .
Пример 4. Найдите количество способов, которыми можно выбрать директора и заместителя директора из группы из 10 человек так, чтобы один и тот же человек не мог занимать обе должности.
Решение: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) вовремя
| Количество перестановок n объектов, где p 1 объектов одного вида, p 2 объектов второго рода,... p k объектов k -го типа, а остальные, если они есть, разного вида, равно \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Давайте разберемся в применении этой теоремы, используя приведенный ниже пример.
Пример 5: Найдите количество перестановок букв в слове INDEPENDENCE.
Решение: Поскольку буквы повторяются, мы используем формулу \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) . Есть 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P и 1 C
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Давайте изменим приведенный выше вопрос следующим образом: найдите количество аранжировок, в которых слово начинается с P
Здесь, поскольку положение буквы P фиксировано, посчитайте расположение оставшихся 11 букв.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
