การเรียงสับเปลี่ยนเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจำนวนของการจัดเรียงที่เป็นไปได้ในชุดเมื่อลำดับของการจัดเรียงมีความสำคัญ ให้เราเข้าใจแนวคิดนี้โดยใช้ตัวอย่างด้านล่าง:
สเตซี่มีชุดเดรส 3 ชุดและกระเป๋าถือ 2 ใบ มีสามวิธีในการเลือกชุดเนื่องจากมี 3 ชุดให้เลือก กระเป๋าถือมีให้เลือกสองแบบสำหรับทุกการแต่งตัว ดังนั้นจึงมี 3 × 2 = 6 คู่ของชุดและกระเป๋าถือ ให้ชุด 3 ชุดแสดงเป็น D 1 , D 2 และ D 3 และกระเป๋าถือ 2 ใบเป็น H 1 และ H 2 
หลักการพื้นฐานของการนับระบุว่า-
| หากเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ในวิธีที่ต่างกัน m เหตุการณ์อื่นสามารถเกิดขึ้นได้ในวิธีที่ต่างกัน n วิธี จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดในลำดับที่กำหนดคือ m × n |
ในทำนองเดียวกันสำหรับสามเหตุการณ์หลักการมีดังนี้:
ถ้าเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ในวิธีที่ต่างกัน m เหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นได้ในวิธีที่ต่างกัน n เหตุการณ์ตามมา เหตุการณ์ที่สามสามารถเกิดขึ้นได้ใน p วิธีที่แตกต่างกัน ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในลำดับที่กำหนดคือ m × n × หน้า
ในตัวอย่างของเรา วิธีต่างๆ ในการเลือกชุดกระโปรงและกระเป๋าถือเป็นจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการเกิดเหตุการณ์ต่อไปนี้ตาม ลำดับ:
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดหลอดไฟ 4 สี แดง เขียว น้ำเงิน และเหลือง สามารถสร้างสัญญาณที่แตกต่างกันได้กี่สัญญาณหากสัญญาณต้องใช้หลอดไฟสองดวงที่ด้านล่างอีกดวงหนึ่ง
วิธีแก้ไข: มีพื้นที่ว่างสองแห่งที่จะเติมหลอดไฟสี่สีที่แตกต่างกันนี้ 
พื้นที่ว่างด้านบนสามารถถูกครอบครองโดยหลอดไฟสี่ดวงใด ๆ ดังนั้นจึงสามารถเติมพื้นที่ด้านบนได้ 4 วิธี พื้นที่ว่างด้านล่างสามารถเติมด้วยหลอดไฟที่เหลืออีก 3 หลอด ดังนั้นพื้นที่ด้านล่างจึงสามารถเติมได้ 3 วิธี ดังนั้นจำนวนสัญญาณที่ต้องการที่เราสามารถสร้างได้โดยใช้หลอดไฟ 4 หลอดคือ 4 × 3 =12
ในที่นี้เรากำลังนับ การเรียงสับเปลี่ยน ของหลอดไฟ 4 หลอดที่ถ่ายครั้งละ 2 หลอด
ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ n ตัวแรก 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n เรียกว่า 'n แฟกทอเรียล' และเขียนแทนด้วย \(n!\)
จำไว้ว่า \(0! = 1 \)
ตัวอย่างที่ 2: ประเมิน \(5!\)
วิธีแก้ปัญหา: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุที่แตกต่างกัน n รายการที่เกิดขึ้นในแต่ละครั้งจะแสดงด้วย \(^nP_r\) |
| จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุที่แตกต่างกัน n รายการที่เกิดขึ้น r ในแต่ละครั้งที่สามารถทำซ้ำได้คือ \(n^r\) |
ให้เราเข้าใจทฤษฎีบททั้งสองนี้โดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 3: ค้นหาคำที่เป็นตัวอักษรจำนวน 4 คำที่มีหรือไม่มีความหมาย ซึ่งสามารถสร้างจากตัวอักษรของคำ HEAD โดยที่ไม่อนุญาตให้ใช้ตัวอักษรซ้ำกัน
วิธีแก้ปัญหา: ใช้ทฤษฎีบท 1 \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) โดยที่ n คือ 4 และ r คือ 4 ดังนั้น
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
ตอนนี้ให้พิจารณาว่าอนุญาตให้มีการทำซ้ำตัวอักษรหรือไม่ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ตามทฤษฎีบท 2 คือ \(4^4 = 256\)
ตัวอย่างที่ 4 จงหาจำนวนวิธีที่สามารถเลือกอาจารย์ใหญ่และรองอาจารย์ใหญ่จากกลุ่มคน 10 คนโดยที่คนคนเดียวกันไม่สามารถดำรงตำแหน่งทั้งสองได้
วิธีแก้ปัญหา: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) ขณะนั้น
| จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้น โดยที่วัตถุ p 1 เป็นวัตถุประเภทเดียวกัน p 2 เป็นวัตถุประเภท ที่สอง ... p k เป็นวัตถุประเภท k และส่วนที่เหลือ ถ้ามี เป็นประเภทที่แตกต่างกันคือ \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
ให้เราเข้าใจการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้โดยใช้ตัวอย่างด้านล่าง
ตัวอย่างที่ 5: ค้นหาจำนวนการจัดเรียงตัวอักษรของคำว่า INDEPENDENCE.
วิธีแก้ไข: เนื่องจากตัวอักษรซ้ำกัน เราจึงใช้สูตร \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) มี 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P และ 1 C .
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
ให้เราเปลี่ยนคำถามข้างต้นเป็น: ค้นหาจำนวนการจัดเรียงที่คำขึ้นต้นด้วย P
เนื่องจากตำแหน่งของตัวอักษร P ได้รับการแก้ไข ดังนั้นให้นับการจัดเรียงของตัวอักษรที่เหลืออีก 11 ตัว
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
