ایک ترتیب ریاضی کی ایک تکنیک ہے جو ترتیب کی ترتیب کو اہمیت دینے پر سیٹ میں ممکنہ انتظامات کی تعداد کا تعین کرتی ہے۔ آئیے ذیل کی مثال کا استعمال کرتے ہوئے اس تصور کو سمجھیں:
سٹیسی کے پاس 3 کپڑے اور 2 ہینڈ بیگ ہیں۔ تین طریقے ہیں جن میں لباس کا انتخاب کیا جا سکتا ہے کیونکہ 3 کپڑے دستیاب ہیں۔ لباس کے ہر انتخاب کے لیے، ہینڈ بیگ کے دو انتخاب ہیں۔ لہذا، ایک لباس اور ایک ہینڈ بیگ کے 3 × 2 = 6 جوڑے ہیں۔ 3 لباس کو D 1 ، D 2 اور D 3 کے طور پر اور دو ہینڈ بیگز کو H 1 اور H 2 کے طور پر پیش کریں۔ 
گنتی کا بنیادی اصول کہتا ہے کہ-
| اگر کوئی واقعہ m مختلف طریقوں سے پیش آسکتا ہے، جس کے بعد ایک اور واقعہ n مختلف طریقوں سے پیش آسکتا ہے تو دیے گئے ترتیب میں واقعہ کے واقعات کی کل تعداد m × n ہے۔ |
اسی طرح تین واقعات کا اصول یہ ہے:
اگر کوئی واقعہ m مختلف طریقوں سے پیش آسکتا ہے، جس کے بعد دوسرا واقعہ n مختلف طریقوں سے پیش آتا ہے، جس کے بعد ایک تیسرا واقعہ p مختلف طریقوں سے پیش آسکتا ہے، تو دیے گئے ترتیب میں واقعہ کے واقعات کی کل تعداد m × n × ہے۔ ص
ہماری مثال میں، لباس اور ہینڈ بیگ کو منتخب کرنے کے مختلف طریقے درج ذیل واقعات کے یکے بعد دیگرے ہونے کے مختلف طریقوں کی تعداد تھے:
مثال 1: روشنی کے بلب کے 4 مختلف رنگوں کو سرخ، سبز، نیلا اور پیلا دیا گیا ہے۔ اگر سگنل کے لیے ایک دوسرے کے نیچے دو بلب استعمال کرنے کی ضرورت ہو تو کتنے مختلف سگنلز پیدا کیے جا سکتے ہیں؟
حل: ان چار مختلف رنگوں کے بلبوں سے بھرنے کے لیے دو خالی جگہیں ہیں۔ 
اوپری خالی جگہ پر چار بلبوں میں سے کوئی بھی قبضہ کر سکتا ہے، اس لیے اوپر کی جگہ کو 4 مختلف طریقوں سے پُر کیا جا سکتا ہے۔ نچلی خالی جگہ کو باقی 3 بلبوں سے پُر کیا جا سکتا ہے، اس لیے نچلی جگہ کو 3 مختلف طریقوں سے پُر کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، سگنلز کی مطلوبہ تعداد جو ہم 4 بلب استعمال کر کے پیدا کر سکتے ہیں 4 × 3 = 12 ہیں۔
یہاں ہم ایک وقت میں 2 لیے گئے 4 مختلف بلبوں کی ترتیب شمار کر رہے ہیں۔
پہلے n قدرتی اعداد 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n کی پیداوار کو 'n فیکٹوریل' کہا جاتا ہے اور اسے \(n!\) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
یاد رکھیں \(0! = 1 \)
مثال 2: اندازہ کریں \(5!\)
حل: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
ایک وقت میں r لیے گئے n مختلف اشیاء کی ترتیب کی تعداد کو \(^nP_r\) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ |
| n مختلف اشیاء کی ترتیب کی تعداد r ایک وقت میں لی گئی ہے جہاں تکرار کی اجازت ہے \(n^r\) |
آئیے ایک مثال کا استعمال کرتے ہوئے ان دونوں نظریات کو سمجھیں۔
مثال 3: معنی کے ساتھ یا بغیر 4 حرفی الفاظ کی تعداد تلاش کریں، جو لفظ HEAD کے حروف سے بن سکتے ہیں، جہاں حروف کی تکرار کی اجازت نہیں ہے۔
حل: تھیوریم 1 کا استعمال کرتے ہوئے، \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) ، جہاں n ہے 4 اور r ہے 4، اس لیے
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
اب غور کریں کہ اگر حروف کی تکرار کی اجازت ہے، تو تھیوریم 2 کے مطابق ممکنہ ترتیب کی تعداد \(4^4 = 256\) ہے۔
مثال 4: 10 افراد کے گروپ سے پرنسپل اور وائس پرنسپل کا انتخاب کرنے کے طریقے تلاش کریں کہ ایک ہی شخص دونوں عہدوں پر فائز نہیں ہو سکتا۔
حل: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) ایک وقت میں
| n اشیاء کی ترتیب کی تعداد، جہاں p 1 اشیاء ایک ہی قسم کی ہیں، p 2 دوسری قسم کی ہیں، ... p k k قسم کی ہیں اور باقی، اگر کوئی ہیں، مختلف قسم کی ہیں \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
آئیے ذیل کی مثال کا استعمال کرتے ہوئے اس نظریہ کے اطلاق کو سمجھیں۔
مثال 5: لفظ INDEPENDENCE.
حل: جیسا کہ حروف دہرا رہے ہیں، اس لیے ہم فارمولہ استعمال کرتے ہیں \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) 3 N ، 4 E ، 2 D ، 1 I ، 1 P اور 1 C ہیں۔
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
آئیے مندرجہ بالا سوال کو اس طرح تبدیل کریں: ترتیب کی تعداد معلوم کریں جہاں لفظ P سے شروع ہوتا ہے۔
یہاں چونکہ خط P کی پوزیشن طے ہے اس لیے باقی 11 حروف کی ترتیب کو شمار کریں۔
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
