O'zgartirish - bu tartiblarning tartibi muhim bo'lganda, to'plamdagi mumkin bo'lgan tartibga solish sonini aniqlaydigan matematik usul. Keling, quyidagi misol yordamida ushbu tushunchani tushunaylik:
Steysining 3 ta libosi va 2 ta sumkasi bor. Ko'ylakni tanlashning uchta usuli mavjud, chunki 3 ta ko'ylak mavjud. Har bir kiyim tanlovi uchun sumkaning ikkita varianti mavjud. Shuning uchun, 3 × 2 = 6 juft ko'ylak va sumka mavjud. 3 ta ko'ylak D 1 , D 2 va D 3 , ikkita sumka H 1 va H 2 ko'rinishida ifodalansin. 
Hisoblashning asosiy printsipi shuni ko'rsatadiki,
| Agar biror hodisa m xil yo‘l bilan sodir bo‘lishi mumkin bo‘lsa, undan keyin boshqa hodisa n xil yo‘l bilan sodir bo‘lishi mumkin bo‘lsa, hodisaning berilgan tartibda sodir bo‘lishlarining umumiy soni m × n ga teng. |
xuddi shunday, uchta hodisa uchun printsip quyidagicha:
Agar biror hodisa m xil yo‘l bilan sodir bo‘lishi mumkin bo‘lsa, undan keyin boshqa hodisa n xil yo‘l bilan sodir bo‘lsa, undan keyin uchinchi hodisa p turli yo‘l bilan sodir bo‘lishi mumkin bo‘lsa, u holda hodisaning berilgan tartibda ro‘y berishlarining umumiy soni m × n × ga teng. p
Bizning misolimizda ko'ylak va sumkani tanlashning turli xil usullari quyidagi hodisalarning ketma-ket sodir bo'lishining turli usullari soni edi:
1-misol: qizil, yashil, ko'k va sariq lampalarning 4 xil rangi berilgan. Agar signal ikkita lampochkani bir-biridan pastroqda ishlatishni talab qilsa, nechta turli xil signallarni yaratish mumkin?
Yechim: Ushbu to'rt xil rangdagi lampalar bilan to'ldirish uchun ikkita bo'sh joy mavjud. 
Yuqori bo'sh joyni to'rtta lampochkaning har biri egallashi mumkin, shuning uchun yuqori joyni 4 xil usulda to'ldirish mumkin. Pastki bo'sh joy qolgan 3 ta lampochka bilan to'ldirilishi mumkin, shuning uchun pastki bo'shliqni 3 xil usulda to'ldirish mumkin. Shunday qilib, 4 ta lampochka yordamida hosil qilishimiz mumkin bo'lgan signallarning kerakli soni 4 × 3 =12.
Bu erda biz bir vaqtning o'zida 2 ta olingan 4 xil lampochkaning almashtirishlarini hisoblaymiz.
Birinchi n ta natural sonning 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n−1) × n ko‘paytmasi «n faktorial» deb ataladi va \(n!\) bilan belgilanadi.
Eslab qoling \(0! = 1 \)
2-misol: \(5!\) ni baholang
Yechish: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Bir vaqtning o'zida r dan olingan n ta xil ob'ektning almashtirishlar soni \(^nP_r\) bilan belgilanadi. |
| Takrorlashga ruxsat berilgan vaqtda r olingan n ta xil ob'ektning almashtirishlar soni \(n^r\) |
Keling, ushbu ikkala teoremani misol yordamida tushunaylik.
3-misol: HEAD so‘zining harflaridan yasalishi mumkin bo‘lgan ma’noli yoki ma’nosiz 4 ta harfli so‘zlarning sonini toping, bu yerda harflarning takrorlanishiga yo‘l qo‘yilmaydi.
Yechish: 1-teoremadan foydalanib, \(^nP_r = \frac{n!}{(nr)!}\) , bu erda n 4 va r 4, shuning uchun
\(^4 P _4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{1} = 24\)
Endi harflarning takrorlanishiga ruxsat berilganligini ko'rib chiqing, u holda 2-teorema bo'yicha mumkin bo'lgan almashtirishlar soni \(4^4 = 256\) .
4-misol: 10 kishidan iborat guruhdan direktor va o‘rinbosarini qanday qilib tanlash mumkinligini toping, shunda bitta odam ikkala lavozimni ham egallamaydi.
Yechim: \(^{10} P _2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) bir vaqtning o'zida
| n ta ob'ektning almashtirishlar soni, bunda p 1 ob'ektlar bir xil, p 2 ikkinchi turdagi, ... p k - k turdagi va qolganlari, agar mavjud bo'lsa, boshqa turdagi \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) |
Keling, quyidagi misol yordamida ushbu teoremaning qo'llanilishini tushunamiz
5-misol: INDEPENDENCE.
Yechim: Harflar takrorlanayotgani uchun biz \(\frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!} \) formulasidan foydalanamiz. 3 N , 4 E , 2 D , 1 I , 1 P va 1 C mavjud.
\(\mathcal{\frac{12!}{3!4!2!} }\) = 1663200
Keling, yuqoridagi savolni quyidagicha o'zgartiramiz: so'z P harfi bilan boshlangan tartiblar sonini toping
Bu erda P harfining o'rni aniqlanganidek, qolgan 11 ta harfning joylashishini hisoblang.
\(\frac{11!}{3!4!2!} = 138600\)
