حساب التفاضل والتكامل هو دراسة كيفية تغير الأشياء. يوفر إطارًا لدراسة التغيير واستنتاج التنبؤات لمثل هذا التغيير. لفهم التفاضل والتكامل ، تحتاج إلى فهم شيئين - الأرقام والوظائف! يساعدنا التفاضل والتكامل على فهم التغييرات بين القيم المرتبطة بوظيفة ما.
على سبيل المثال ، في دراسة انتشار الأمراض المعدية ، نعتمد بشكل كبير على حساب التفاضل والتكامل. يتم أخذ ثلاثة عوامل رئيسية في الاعتبار ،
باستخدام هذه المتغيرات الثلاثة ، يمكن استخدام حساب التفاضل والتكامل لتحديد مدى وسرعة انتشار المرض ، ومن أين نشأ ، وما هي أفضل طريقة ممكنة لعلاجه. مع تغير معدلات الإصابة والتعافي بمرور الوقت ، يجب أن تكون المعادلات ديناميكية بما يكفي للاستجابة للنماذج الجديدة التي تتطور كل يوم. العديد من هذه الصيغ هي وظائف زمنية ، وإحدى طرق التفكير في حساب التفاضل والتكامل هو رؤيته كدراسة لوظائف الوقت.
لمعالجة مشكلة تغيير الكميات فيما يتعلق بالوقت ، يحتوي حساب التفاضل والتكامل على ثلاث أدوات:
(1) Limits ، \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : يعطي الحد القيمة التي تقتربها الوظيفة حيث تقترب مدخلات هذه الوظيفة من عدد ما. الحدود هي أدوات لوصف كيف تقترب الدالة من القيمة
(2) المشتقات ، \(\frac{d}{dx} f(x)\) : معدل تغير دالة بالنسبة إلى متغير. المشتق يصف كيف تتغير الوظيفة
(3) تكامل ، \(\int f(x)dx\) : يتوافق مع جمع القطع اللامتناهية في الصغر لإيجاد مساحة منطقة متصلة وحجمها. منطقة اشتقاق متكاملة أسفل منحنى دالة
كل هذه الأدوات مرتبطة ببعضها البعض. تُبنى المشتقات من نهايات والتكامل هو معكوس المشتق.
بدأت الدراسة الرسمية لحساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر من قبل علماء ورياضيين مشهورين مثل إسحاق نيوتن وجوتفريد ليبني. إنه تخصص رياضي يهتم بشكل أساسي بالوظائف ، والحدود ، والمشتقات ، والتكاملات. هناك مجالان مختلفان لحساب التفاضل والتكامل. يسمى الحقل الفرعي الأول حساب التفاضل. باستخدام مفهوم المشتقات الوظيفية ، يدرس سلوك ومعدل تغير الكميات المختلفة. باستخدام عملية التفاضل ، يمكن في الواقع حساب الرسم البياني للدالة وتحليلها والتنبؤ بها. يسمى الحقل الفرعي الثاني حساب التكامل . التكامل هو في الواقع عملية عكسية للاشتقاق ، تتعلق بمفهوم مضاد المشتق.
متى تستخدم حساب التفاضل والتكامل في العالم الحقيقي؟ يتم استخدامه لإنشاء نماذج رياضية للوصول إلى الحل الأمثل. على سبيل المثال،
- في الفيزياء ، يتم استخدام مفهوم حساب التفاضل والتكامل في الحركة والكهرباء والحرارة والضوء والتوافقيات والصوتيات وعلم الفلك والديناميات والكهرومغناطيسية ونظرية أينشتاين النسبية تستخدم حساب التفاضل والتكامل.
- في الكيمياء ، يمكن استخدام حساب التفاضل والتكامل للتنبؤ بوظائف مثل معدلات التفاعل والانحلال الإشعاعي.
- في علم الأحياء ، يتم استخدامه لصياغة معدلات مثل معدلات المواليد والوفيات.
- في علم الاقتصاد ، يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل لحساب التكلفة الحدية والإيرادات الحدية ، مما يمكّن الاقتصاديين من التنبؤ بأقصى ربح في بيئة معينة.
دعونا نحاول فهم التفاضل والتكامل باستخدام بعض الأمثلة:
أحد السيناريوهات التي يكون فيها الحل في حساب التفاضل والتكامل هو معرفة معدل تغير حجم المكعب فيما يتعلق بالتغير في جوانبه. إذا كان \(dy\) يمثل تغيير حجم المكعب ويمثل dx تغيير جوانب المكعب ، فيمكننا استخدام الصيغة المشتقة \(^{dy}/_{dx}\) . إزاحة السيارة فيما يتعلق بالوقت. يمثل المحور x الوقت و y هو الإزاحة. يمكنك الآن معرفة السرعة عند النقطة (t1، y1)؟
تحقق من الشكل 2 ، إذا كانت السيارة تغطي المسافة y2 - y1 في الفاصل الزمني x2 - x1 إذن \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) يمكن كتابة هذا أيضًا كتغيير في المسافة / التغيير في الوقت ، وهي السرعة. إذن ، أي ميل لخط في هذا الرسم البياني يعطينا السرعة. عند تقليل \(\Delta t \) اقتربنا من إيجاد السرعة اللحظية عند نقطة ما في هذا الرسم البياني. لإيجاد السرعة ، نحتاج إلى نقطتين لأن السرعة تساوي التغير في المسافة ∕ تغير الزمن. إذا كنت تحاول إيجاد السرعة اللحظية باستخدام هذه الصيغة عن طريق تقليل الفاصل الزمني إلى 0 تقريبًا ، فإننا نشتق مشتق هذه الدالة. سوف تتعلم كيفية اشتقاق مشتق من دالة في درس المشتق.
لذلك إذا تم تعريف هذا الرسم البياني على أنه y = t 2 + 2 ، فإن السرعة في أي وقت ستكون 2t (مشتقة باستخدام صيغة مشتقة). يمكنك الآن معرفة السرعة اللحظية في أي وقت.
عملية إيجاد المشتقات تسمى التفاضل. لنفترض أن مشتق الدالة هو y = f (x). إنه مقياس المعدل الذي تتغير به قيمة y بالنسبة لتغير المتغير x. يُعرف باسم مشتق الوظيفة "f" ، فيما يتعلق بالمتغير x.
إذا تمت الإشارة إلى التغيير اللامتناهي في x على أنه dx ، فإن مشتق y بالنسبة إلى x يُكتب بالصيغة dy ∕ dx.
سيارة تسير بسرعة 30 كم في الساعة. إذا سارت لمدة 4 ساعات ، فإن المسافة المقطوعة هي 30 × 4 = 120 كم. لكن السؤال هنا هو ، هل يمكن لسيارة أن تسير بسرعة ثابتة تبلغ 30 كم / ساعة؟ لا ، مع الأخذ في الاعتبار أن الطريق سيحتوي على إشارات مرورية ومطبات وتحولات ، فإن السرعة ستتفاوت. إذن الآن تصبح المشكلة نفسها معقدة ، لكيفية تحديد المسافة التي تقطعها السيارة في لحظة معينة كانت تسير بسرعات متفاوتة؟
هذه المشكلة لها حل في التفاضل والتكامل! يمكن إيجاد الإزاحة الكلية للسيارة بأخذ تكامل سرعة السيارة بالنسبة إلى الوقت.
دعونا نفكر في رسم بياني آخر حيث يتم رسم السرعة فيما يتعلق بالوقت. إذا أردنا إيجاد المسافة التي قطعتها السيارة في الفترة الزمنية t2− t1 ، فالمسافة هي السرعة × الوقت ، وهي المنطقة الواقعة أسفل المنحنى بين نقطتين t1 و t2.
لاشتقاق المساحة ، نستخدم حساب التفاضل والتكامل. إذا كانت السرعة s دالة للوقت t ، أي S = F (t) ثم باستخدام التكامل يمكننا إيجاد مساحة هذا الجزء كـ \(F(t) = \int s\cdot dt\) . لإيجاد المساحة الواقعة أسفل هذا المنحنى ، نشتق تكامل دالة. كيف تفعل ذلك سوف تتعلم في الدرس المتكامل. إذا كان هذا الرسم البياني يرسم الدالة y = x 2 ، فإن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى للوقت t1 = 1 إلى t2 = 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (حيث C ثابت) = 7/3
التكامل هو طريقة لجمع أو تلخيص الأجزاء لإيجاد الكل. إنها عملية تمايز عكسية ، حيث نقوم بتقليل الوظائف إلى أجزاء. يتم استخدام Integral لإيجاد المجموع على نطاق واسع. يمكن حساب مشاكل الإضافة الصغيرة يدويًا أو بواسطة الآلات الحاسبة ، ولكن بالنسبة لمشاكل الإضافة الكبيرة ، حيث يمكن أن تصل الحدود إلى ما لا نهاية ، يتم استخدام طرق التكامل.
يسمح لنا الحد بفحص ميل الوظيفة حول نقطة معينة حتى عندما لا يتم تحديد الوظيفة عند هذه النقطة. دعونا نلقي نظرة على الوظيفة أدناه.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
نظرًا لأن مقامه يساوي صفرًا عندما تكون x = 1 ، فإن f (1) غير معرّف ، ومع ذلك ، فإن حده عند x = 1 موجود ويشير إلى أن قيمة الوظيفة تقترب من 2 هناك.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
