Hesablama şeylərin necə dəyişdiyini öyrənir. O, dəyişikliyi öyrənmək və bu dəyişikliyə dair proqnozlar çıxarmaq üçün çərçivə təmin edir. Hesabı başa düşmək üçün iki şeyi başa düşmək lazımdır - rəqəmlər və funksiyalar! Hesablama bizə funksiya ilə əlaqəli dəyərlər arasındakı dəyişiklikləri anlamağa kömək edir.
Məsələn, yoluxucu xəstəliklərin yayılmasının tədqiqində biz böyük ölçüdə hesablamalara etibar edirik. Üç əsas amil nəzərə alınır,
Bu üç dəyişən ilə hesablama xəstəliyin nə qədər uzaq və sürətlə yayıldığını, haradan qaynaqlandığını və onu müalicə etməyin ən yaxşı yolunun hansı olduğunu müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər. İnfeksiya və sağalma dərəcələri zamanla dəyişdikcə, tənliklər hər gün inkişaf edən yeni modellərə cavab vermək üçün kifayət qədər dinamik olmalıdır. Bu düsturların çoxu zamanın funksiyalarıdır və hesablama haqqında düşünməyin bir yolu onu zamanın funksiyalarının öyrənilməsi kimi görməkdir.
Kəmiyyətlərin zamana görə dəyişməsi problemini həll etmək üçün hesablamanın üç aləti var:
(1) Limitlər, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Limit, funksiyanın girişləri hansısa ədədə yaxınlaşdıqca yaxınlaşdığı dəyəri verir. Limitlər funksiyanın dəyərə necə yaxınlaşdığını təsvir edən alətlərdir
(2) Törəmələr, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Bir funksiyanın dəyişənə nisbətən dəyişmə sürətidir. Törəmə funksiyanın necə dəyişdiyini təsvir edir
(3) İnteqral, \(\int f(x)dx\) : Davamlı rayonun sahəsini, həcmini tapmaq üçün sonsuz kiçik parçaların cəmlənməsinə uyğundur. Funksiya əyrisinin altındakı inteqral törəmə sahəsi
Bütün bu alətlər bir-biri ilə əlaqəlidir. Törəmələr limitlərdən qurulur və inteqral törəmənin tərsidir.
Hesablamanın formal tədqiqi 17-ci əsrdə İsaak Nyuton və Qotfrid Leybni kimi tanınmış alim və riyaziyyatçılar tərəfindən başlamışdır. Bu, ilk növbədə funksiyalar, limitlər, törəmələr və inteqrallarla əlaqəli bir riyazi intizamdır. Hesablamanın 2 fərqli sahəsi var. Birinci alt sahə diferensial hesablama adlanır. Funksiya törəmələri anlayışından istifadə edərək, müxtəlif kəmiyyətlərin necə dəyişməsinin davranışını və sürətini öyrənir. Fərqləndirmə prosesindən istifadə edərək, funksiyanın qrafiki həqiqətən hesablana, təhlil edilə və proqnozlaşdırıla bilər. İkinci alt sahə adlanır inteqral hesablama . İnteqrasiya əslində anti-törəmə anlayışı ilə əlaqəli diferensiallaşmanın əks prosesidir.
Real dünyada hesablamadan nə vaxt istifadə edirsiniz? Optimal həllə nail olmaq üçün riyazi modellər yaratmaq üçün istifadə olunur. Misal üçün,
- Fizikada hesab anlayışı hərəkət, elektrik, istilik, işıq, harmonika, akustika, astronomiya, dinamika, elektromaqnetizm və Eynşteynin nisbilik nəzəriyyəsində hesablamadan istifadə edilir.
- Kimyada hesablama reaksiya sürətləri və radioaktiv parçalanma kimi funksiyaları proqnozlaşdırmaq üçün istifadə edilə bilər.
- Biologiyada doğum və ölüm nisbətləri kimi nisbətləri formalaşdırmaq üçün istifadə olunur.
- İqtisadiyyatda hesablama marjinal xərcləri və marjinal gəliri hesablamaq üçün istifadə olunur ki, bu da iqtisadçılara konkret şəraitdə maksimum mənfəəti proqnozlaşdırmağa imkan verir.
Gəlin bir neçə nümunədən istifadə edərək hesablamaları anlamağa çalışaq:
Həllin yalnız hesablamada olduğu ssenarilərdən biri kubun həcminin tərəflərinin dəyişməsinə nisbətdə dəyişmə sürətini bilməkdir. Əgər \(dy\) kubun həcminin dəyişməsini, dx isə kubun tərəflərinin dəyişməsini ifadə edirsə, onda biz \(^{dy}/_{dx}\) törəmə formasından istifadə edə bilərik. zamana görə avtomobilin yerdəyişməsi. X oxu vaxtı, y isə yerdəyişməni göstərir. İndi (t1,y1) nöqtəsində sürətin nə qədər olduğunu tapa bilərsiniz?
Şəkil 2-i yoxlayın, əgər avtomobil x2 − x1 vaxt intervalında y2 − y1 məsafəsini qət edirsə, o zaman \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Bu, məsafənin dəyişməsi/zamanın dəyişməsi kimi də yazıla bilər, yəni sürət. Beləliklə, bu qrafikdəki xəttin istənilən yamacı sürəti verir. \(\Delta t \) azaldıqca, bu qrafikdə bir nöqtədə ani sürəti tapmağa yaxınlaşırıq. Sürəti tapmaq üçün bizə iki nöqtə lazımdır, çünki sürət məsafənin dəyişməsinə ∕ zamanın dəyişməsinə bərabərdir. Əgər siz vaxt intervalını demək olar ki, 0-a endirməklə bu düsturdan istifadə edərək ani sürəti tapmağa çalışırsınızsa, onda biz bu funksiyanın törəməsini əldə edirik. Törəmə dərsində funksiyanın törəməsinin necə alınacağını öyrənəcəksiniz.
Beləliklə, əgər bu qrafik y = t 2 + 2 kimi müəyyən edilirsə, istənilən vaxtda sürət 2t olacaqdır (törəmə düsturundan istifadə etməklə). İndi istənilən vaxt ani sürəti tapa bilərsiniz.
Törəmələrin tapılması prosesinə diferensiasiya deyilir. Funksiyanın törəməsi y = f(x) olsun. Bu, x dəyişəninin dəyişməsinə görə y-nin dəyərinin dəyişmə sürətinin ölçüsüdür. O, x dəyişəninə münasibətdə “f” funksiyasının törəməsi kimi tanınır.
Əgər x-də sonsuz kiçik dəyişiklik dx kimi işarələnirsə, y-nin x-ə nisbətən törəməsi dy ∕ dx kimi yazılır.
Saatda 30 km sürətlə gedən avtomobil. Əgər 4 saat sürürsə, qət edilən məsafə 30 × 4 = 120 km-dir. Ancaq burada sual yaranır ki, avtomobil 30km∕saat sabit sürətlə işləyə bilərmi? Xeyr, nəzərə alsaq ki, yolda svetofor, tıxaclar və döngələr olacaq, sürət dəyişəcək. Beləliklə, indi eyni problem mürəkkəbləşir, çünki müxtəlif sürətlə işləyən müəyyən bir anda avtomobilin qət etdiyi məsafəni necə təyin etmək olar?
Bu problemin hesablamada həlli var! Avtomobilin ümumi yerdəyişməsini avtomobilin sürətinin zamana görə inteqralını götürməklə tapmaq olar.
Sürətin zamana görə qurulduğu başqa bir qrafiki nəzərdən keçirək. Avtomobilin t2− t1 zaman intervalında nə qədər məsafə qət etdiyini tapmaq istəsək, o zaman məsafə sürət × vaxtdır ki , bu da iki t1 və t2 nöqtələri arasındakı əyrinin altındakı sahədir.
Sahəni çıxarmaq üçün inteqral hesablamadan istifadə edirik. Əgər s sürəti t zamanının funksiyasıdırsa, yəni S = F(t) onda inteqraldan istifadə edərək bu hissənin sahəsini \(F(t) = \int s\cdot dt\) kimi tapa bilərik. Bu əyrinin altındakı sahəni tapmaq üçün funksiyanın inteqrasiyasını əldə edirik. Bunu necə edəcəyinizi inteqral dərsdə öyrənəcəksiniz. Əgər bu qrafik y = x 2 funksiyasını tərtib edirsə, onda t1= 1-dən t2= 2 vaxtına qədər əyrinin altındakı sahə \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (burada C sabitdir) = 7/3
İnteqrasiya bütövü tapmaq üçün hissələrin əlavə edilməsi və ya yekunlaşdırılması üsuludur. Bu, funksiyaları hissələrə endirdiyimiz tərs diferensiallaşma prosesidir. İnteqral geniş miqyasda toplamanı tapmaq üçün istifadə olunur. Kiçik toplama məsələlərinin hesablanması əl ilə və ya kalkulyatorlar vasitəsilə həyata keçirilə bilər, lakin məhdudiyyətlərin hətta sonsuzluğa çata biləcəyi böyük əlavə problemlərində inteqrasiya metodlarından istifadə olunur.
Limit , funksiya nöqtədə müəyyən edilmədikdə belə, verilmiş nöqtə ətrafında funksiyanın meylini yoxlamağa imkan verir. Aşağıdakı funksiyaya baxaq.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
x=1 olduqda onun məxrəci sıfır olduğu üçün f(1) qeyri-müəyyəndir, lakin onun x=1-dəki həddi mövcuddur və burada funksiya dəyərinin 2-yə yaxınlaşdığını göstərir.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
