ক্যালকুলাস হ'ল জিনিসগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয় তার অধ্যয়ন। এটি পরিবর্তন অধ্যয়ন করার জন্য এবং এই ধরনের পরিবর্তনের জন্য পূর্বাভাস বের করার জন্য একটি কাঠামো প্রদান করে। ক্যালকুলাস বোঝার জন্য আপনার দুটি জিনিস বোঝা দরকার - সংখ্যা এবং ফাংশন! ক্যালকুলাস আমাদের একটি ফাংশন দ্বারা সম্পর্কিত মানগুলির মধ্যে পরিবর্তনগুলি বুঝতে সাহায্য করে।
উদাহরণস্বরূপ, সংক্রামক রোগের বিস্তারের গবেষণায়, আমরা ক্যালকুলাসের উপর খুব বেশি নির্ভর করি। তিনটি প্রধান কারণ বিবেচনা করা হয়,
এই তিনটি ভেরিয়েবলের সাহায্যে, ক্যালকুলাস ব্যবহার করে নির্ণয় করা যেতে পারে যে একটি রোগ কতদূর এবং দ্রুত ছড়াচ্ছে, এটি কোথা থেকে উদ্ভূত হয়েছে এবং এটির চিকিত্সার সর্বোত্তম উপায় কী। সংক্রমণ এবং পুনরুদ্ধারের হার সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়, তাই সমীকরণগুলি প্রতিদিন বিকশিত নতুন মডেলগুলিতে প্রতিক্রিয়া জানাতে যথেষ্ট গতিশীল হতে হবে। এই সূত্রগুলির মধ্যে অনেকগুলি হল সময়ের ফাংশন, এবং ক্যালকুলাসকে চিন্তা করার একটি উপায় হল এটিকে সময়ের ফাংশনগুলির অধ্যয়ন হিসাবে দেখা।
সময়ের সাপেক্ষে পরিমাণ পরিবর্তনের সমস্যা মোকাবেলা করার জন্য, ক্যালকুলাসের তিনটি টুল রয়েছে:
(1) সীমা, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : একটি সীমা একটি ফাংশনকে যে মান দেয় যখন সেই ফাংশনের ইনপুটগুলি কিছু সংখ্যার কাছাকাছি আসে। একটি ফাংশন একটি মানের কাছে কীভাবে আসে তা বর্ণনা করার জন্য সীমা হল সরঞ্জাম
(2) ডেরিভেটিভস, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : এটি একটি চলকের সাপেক্ষে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার। ডেরিভেটিভ বর্ণনা করে কিভাবে একটি ফাংশন পরিবর্তিত হয়
(3) অখণ্ড, \(\int f(x)dx\) : একটি অবিচ্ছিন্ন অঞ্চলের ক্ষেত্রফল, আয়তন খুঁজে বের করার জন্য অসীম টুকরোগুলির সমষ্টির সাথে মিলে যায়। একটি ফাংশনের বক্ররেখার নিচে ইন্টিগ্রাল ডিরাইভ এলাকা
এই সমস্ত সরঞ্জাম একে অপরের সাথে সম্পর্কিত। ডেরিভেটিভগুলি সীমা থেকে তৈরি করা হয় এবং একটি অখণ্ড হল একটি ডেরিভেটিভের বিপরীত।
ক্যালকুলাসের আনুষ্ঠানিক অধ্যয়ন 17 শতকে আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রাইড লিবনির মতো বিখ্যাত বিজ্ঞানী এবং গণিতবিদদের দ্বারা শুরু হয়েছিল। এটি একটি গাণিতিক শৃঙ্খলা যা প্রাথমিকভাবে ফাংশন, সীমা, ডেরিভেটিভস এবং ইন্টিগ্রেলগুলির সাথে সম্পর্কিত। ক্যালকুলাসের 2টি ভিন্ন ক্ষেত্র রয়েছে। প্রথম সাবফিল্ডকে বলা হয় ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাস। ফাংশন ডেরিভেটিভের ধারণা ব্যবহার করে, এটি কীভাবে বিভিন্ন পরিমাণ পরিবর্তন হয় তার আচরণ এবং হার অধ্যয়ন করে। পার্থক্যের প্রক্রিয়া ব্যবহার করে, একটি ফাংশনের গ্রাফটি আসলে গণনা করা, বিশ্লেষণ করা এবং ভবিষ্যদ্বাণী করা যায়। দ্বিতীয় সাবফিল্ড বলা হয় অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস ইন্টিগ্রেশন আসলে পার্থক্যের বিপরীত প্রক্রিয়া, অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ ধারণার সাথে সম্পর্কিত।
বাস্তব জগতে আপনি কখন ক্যালকুলাস ব্যবহার করবেন? এটি একটি সর্বোত্তম সমাধানে পৌঁছানোর জন্য গাণিতিক মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণ স্বরূপ,
- পদার্থবিজ্ঞানে, ক্যালকুলাসের ধারণাটি গতি, বিদ্যুৎ, তাপ, আলো, সুরবিদ্যা, ধ্বনিবিদ্যা, জ্যোতির্বিদ্যা, গতিবিদ্যা, তড়িৎচুম্বকত্ব এবং আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব ক্যালকুলাস ব্যবহার করে।
- রসায়নে, ক্যালকুলাস প্রতিক্রিয়া হার এবং তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের মতো ফাংশনগুলির পূর্বাভাস দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
- জীববিজ্ঞানে, এটি জন্ম ও মৃত্যুর হারের মতো হার তৈরি করতে ব্যবহার করা হয়।
- অর্থনীতিতে, ক্যালকুলাস প্রান্তিক ব্যয় এবং প্রান্তিক রাজস্ব গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, যা অর্থনীতিবিদদের একটি নির্দিষ্ট সেটিংয়ে সর্বাধিক লাভের পূর্বাভাস দিতে সক্ষম করে।
আসুন কয়েকটি উদাহরণ ব্যবহার করে ক্যালকুলাস বোঝার চেষ্টা করি:
এমন একটি পরিস্থিতি যেখানে সমাধানটি শুধুমাত্র ক্যালকুলাসে রয়েছে তা হল একটি ঘনকের আয়তনের পরিবর্তনের হারকে তার বাহুগুলির পরিবর্তনের সাপেক্ষে জানা। যদি \(dy\) একটি ঘনকের আয়তনের পরিবর্তনকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং dx ঘনকের বাহুর পরিবর্তনকে প্রতিনিধিত্ব করে, তাহলে আমরা ডেরিভেটিভ ফর্ম \(^{dy}/_{dx}\) ব্যবহার করতে পারি। আসুন প্লট করি সময়ের সাপেক্ষে গাড়ির স্থানচ্যুতি। x-অক্ষ সময়কে প্রতিনিধিত্ব করে এবং y হল স্থানচ্যুতি। এখন আপনি কি জানতে পারবেন বিন্দুতে (t1,y1) গতি কত ছিল?
চিত্র 2 চেক করুন, যদি গাড়িটি সময় ব্যবধানে y2 − y1 দূরত্ব কভার করে x2 − x1 তাহলে, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) এটিকে দূরত্বের পরিবর্তন/সময়ের পরিবর্তন হিসাবেও লেখা যেতে পারে, যা গতি। তাই এই গ্রাফে একটি রেখার যেকোনো ঢাল গতি দেয়। যেহেতু \(\Delta t \) কমিয়ে আমরা এই গ্রাফের একটি বিন্দুতে তাৎক্ষণিক গতি খুঁজে পাওয়ার কাছাকাছি চলে যাই। গতি খুঁজে পেতে আমাদের দুটি পয়েন্ট প্রয়োজন কারণ গতি দূরত্বের পরিবর্তন ∕ সময়ের পরিবর্তনের সমান। আপনি যদি সময়ের ব্যবধানকে প্রায় 0 এ কমিয়ে এই সূত্রটি ব্যবহার করে তাত্ক্ষণিক গতি খুঁজে বের করার চেষ্টা করছেন, তাহলে আমরা এই ফাংশনটির ডেরিভেটিভ বের করছি। ডেরিভেটিভ পাঠে আপনি শিখবেন কিভাবে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ বের করতে হয়।
সুতরাং যদি এই গ্রাফটিকে y = t 2 + 2 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে যেকোন সময়ে গতি হবে 2t (ডেরিভেটিভ সূত্র ব্যবহার করে প্রাপ্ত)। এখন আপনি যেকোনো সময়ে তাত্ক্ষণিক গতি খুঁজে পেতে পারেন।
ডেরিভেটিভস খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয়। ধরা যাক, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হবে y = f(x)। এটি পরিবর্তনশীল x এর পরিবর্তনের সাথে সাপেক্ষে y এর মান যে হারে পরিবর্তিত হয় তার পরিমাপ। এটি পরিবর্তনশীল x এর সাপেক্ষে "f" ফাংশনের ডেরিভেটিভ হিসাবে পরিচিত।
যদি x-এর অসীম পরিবর্তনকে dx হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, তাহলে x এর সাপেক্ষে y এর ডেরিভেটিভ dy ∕ dx হিসাবে লেখা হয়।
একটি গাড়ি যা ঘন্টায় 30 কিমি বেগে চলে। যদি এটি 4 ঘন্টার জন্য ড্রাইভ করে তবে ভ্রমণ করা দূরত্ব 30 × 4 = 120 কিমি। কিন্তু এখানে প্রশ্ন হল, একটা গাড়ি কি 30km∕ঘন্টা গতিতে চলতে পারে? না, রাস্তার ট্রাফিক সিগন্যাল, বাম্প, বাঁক থাকবে বিবেচনা করে গতির তারতম্য হচ্ছে। তাই এখন একই সমস্যা জটিল হয়ে উঠেছে, একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে যেটি বিভিন্ন গতিতে চলছিল গাড়ি দ্বারা ভ্রমণ করা দূরত্ব কীভাবে নির্ধারণ করবেন?
ক্যালকুলাসে এই সমস্যার সমাধান আছে! সময়ের সাপেক্ষে গাড়ির বেগের অখণ্ডতা নিলে গাড়ির মোট স্থানচ্যুতি পাওয়া যায়।
আসুন আমরা আরেকটি গ্রাফ বিবেচনা করি যেখানে সময়ের সাপেক্ষে গতি প্লট করা হয়েছে। যদি আমরা জানতে চাই যে গাড়িটি সময়ের ব্যবধানে t2− t1 কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে, তাহলে দূরত্ব হল গতি × সময় , যা দুটি বিন্দু t1 এবং t2 এর মধ্যে বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্র।
এলাকাটি বের করতে আমরা ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ব্যবহার করি। যদি গতি s সময় t এর একটি ফাংশন হয়, অর্থাৎ S = F(t) তাহলে integral ব্যবহার করে আমরা এই অংশের ক্ষেত্রফলকে \(F(t) = \int s\cdot dt\) হিসাবে খুঁজে পেতে পারি। এই বক্ররেখার নিচের এলাকা খুঁজে বের করতে আমরা একটি ফাংশনের ইন্টিগ্রেশন বের করি। কিভাবে করতে হয় তা আপনি অবিচ্ছেদ্য পাঠে শিখবেন। যদি এই গ্রাফটি y = x 2 ফাংশনটি প্লট করে তাহলে t1= 1 থেকে t2= 2 সময়ের জন্য বক্ররেখার নিচে ক্ষেত্রফল হল \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (যেখানে C একটি ধ্রুবক) = 7/3
ইন্টিগ্রেশন হল সম্পূর্ণ খুঁজে বের করার জন্য অংশ যোগ করার বা যোগ করার একটি পদ্ধতি। এটি পার্থক্যের একটি বিপরীত প্রক্রিয়া, যেখানে আমরা ফাংশনগুলিকে অংশে হ্রাস করি। ইন্টিগ্রাল একটি বিশাল স্কেলের অধীনে যোগফল খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয়। ছোট সংযোজন সমস্যাগুলির গণনা ম্যানুয়ালি বা ক্যালকুলেটর দ্বারা করা যেতে পারে, তবে বড় সংযোজন সমস্যার জন্য যেখানে সীমা এমনকি অসীম পর্যন্ত পৌঁছাতে পারে, ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
একটি সীমা আমাদের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর চারপাশে একটি ফাংশনের প্রবণতা পরীক্ষা করার অনুমতি দেয় এমনকি যখন ফাংশনটি বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। আসুন নীচের ফাংশনটি দেখি।
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
যেহেতু x=1, f(1) অসংজ্ঞায়িত হলে এর হর শূন্য হয়, তবে, x=1-এ এর সীমা বিদ্যমান এবং নির্দেশ করে যে ফাংশনের মান সেখানে 2-এর কাছে পৌঁছেছে।
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
