Infinitesimalrechnung ist die Lehre davon, wie sich Dinge verändern. Es bietet einen Rahmen, um die Veränderung zu untersuchen und Vorhersagen für diese Veränderung abzuleiten. Um die Analysis zu verstehen, müssen Sie zwei Dinge verstehen – Zahlen und Funktionen! Die Analysis hilft uns, Änderungen zwischen Werten zu verstehen, die durch eine Funktion zusammenhängen.
Bei der Untersuchung der Ausbreitung von Infektionskrankheiten verlassen wir uns beispielsweise stark auf die Infinitesimalrechnung. Drei Hauptfaktoren werden berücksichtigt:
Anhand dieser drei Variablen lässt sich rechnerisch ermitteln, wie weit und schnell sich eine Krankheit ausbreitet, woher sie stammt und wie sie am besten behandelt werden kann. Da sich die Infektions- und Genesungsraten im Laufe der Zeit ändern, müssen die Gleichungen dynamisch genug sein, um auf die neuen Modelle zu reagieren, die sich täglich weiterentwickeln. Viele dieser Formeln sind Funktionen der Zeit, und eine Möglichkeit, sich die Infinitesimalrechnung vorzustellen, besteht darin, sie als eine Untersuchung von Funktionen der Zeit zu betrachten.
Um das Problem der zeitlichen Änderung von Größen anzugehen, verfügt die Analysis über drei Werkzeuge:
(1) Grenzwerte, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Ein Grenzwert gibt den Wert an, dem sich eine Funktion annähert, wenn die Eingaben dieser Funktion einer Zahl immer näher kommen. Grenzwerte sind Werkzeuge, um zu beschreiben, wie sich eine Funktion einem Wert nähert
(2) Ableitungen, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Es ist die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf eine Variable. Die Ableitung beschreibt, wie sich eine Funktion ändert
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Entspricht der Summierung von Infinitesimalstücken, um die Fläche und das Volumen einer kontinuierlichen Region zu ermitteln. Integraler Ableitungsbereich unter einer Kurve einer Funktion
Alle diese Tools hängen miteinander zusammen. Ableitungen werden aus Grenzwerten gebildet und ein Integral ist die Umkehrung einer Ableitung.
Das formale Studium der Analysis begann im 17. Jahrhundert durch bekannte Wissenschaftler und Mathematiker wie Isaac Newton und Gottfried Leibni. Es handelt sich um eine mathematische Disziplin, die sich hauptsächlich mit Funktionen, Grenzwerten, Ableitungen und Integralen befasst. Es gibt zwei verschiedene Bereiche der Analysis. Das erste Teilgebiet heißt Differentialrechnung. Unter Verwendung des Konzepts der Funktionsableitungen untersucht es das Verhalten und die Geschwindigkeit, mit der sich verschiedene Größen ändern. Mithilfe des Differenzierungsprozesses kann der Graph einer Funktion tatsächlich berechnet, analysiert und vorhergesagt werden. Das zweite Unterfeld heißt Integralrechnung . Integration ist eigentlich der umgekehrte Prozess der Differenzierung, der sich mit dem Konzept der Stammfunktion befasst.
Wann verwenden Sie Infinitesimalrechnung in der realen Welt? Es dient der Erstellung mathematischer Modelle, um zu einer optimalen Lösung zu gelangen. Zum Beispiel,
- In der Physik wird das Konzept der Infinitesimalrechnung in den Bereichen Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik, Astronomie, Dynamik und Elektromagnetismus verwendet, und Einsteins Relativitätstheorie verwendet Infinitesimalrechnung.
- In der Chemie kann die Analysis zur Vorhersage von Funktionen wie Reaktionsgeschwindigkeiten und radioaktivem Zerfall eingesetzt werden.
- In der Biologie wird es verwendet, um Zahlen wie Geburten- und Sterberaten zu formulieren.
- In den Wirtschaftswissenschaften wird die Analysis zur Berechnung von Grenzkosten und Grenzerlösen verwendet, sodass Ökonomen den maximalen Gewinn in einem bestimmten Umfeld vorhersagen können.
Versuchen wir, die Analysis anhand einiger Beispiele zu verstehen:
Eines der Szenarien, in denen die Lösung nur in der Analysis liegt, besteht darin, die Änderungsrate des Volumens eines Würfels in Bezug auf die Änderung seiner Seiten zu kennen. Wenn \(dy\) die Volumenänderung eines Würfels darstellt und dx die Seitenänderung des Würfels darstellt, können wir die Ableitungsform \(^{dy}/_{dx}\) verwenden. Lassen Sie uns das zeichnen Autoverdrängung im Zeitverlauf. Die x-Achse stellt die Zeit dar und y ist die Verschiebung. Können Sie nun herausfinden, wie hoch die Geschwindigkeit am Punkt (t1,y1) war?
Überprüfen Sie Abbildung 2: Wenn das Auto die Distanz y2 − y1 im Zeitintervall x2 − x1 zurücklegt, dann \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Dies kann auch als Abstandsänderung/Zeitänderung, also Geschwindigkeit, geschrieben werden. Jede Steigung einer Linie in diesem Diagramm ergibt also Geschwindigkeit. Wenn \(\Delta t \) kleiner wird, nähern wir uns der Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit an einem Punkt in diesem Diagramm. Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, benötigen wir zwei Punkte, da die Geschwindigkeit gleich der Abstandsänderung ∕ Zeitänderung ist. Wenn Sie versuchen, die Momentangeschwindigkeit mithilfe dieser Formel zu ermitteln, indem Sie das Zeitintervall auf nahezu 0 reduzieren, dann leiten wir die Ableitung dieser Funktion ab. In der Lektion „Ableitung“ erfahren Sie, wie Sie eine Ableitung einer Funktion ableiten.
Wenn dieser Graph also als y = t 2 + 2 definiert ist, beträgt die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt 2t (abgeleitet mithilfe der Ableitungsformel). Jetzt können Sie die momentane Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt ermitteln.
Der Vorgang, die Ableitungen zu finden, wird Differenzierung genannt. Die Ableitung einer Funktion sei y = f(x). Es ist das Maß für die Geschwindigkeit, mit der sich der Wert von y in Bezug auf die Änderung der Variablen x ändert. Man nennt sie die Ableitung der Funktion „f“ nach der Variablen x.
Wenn eine infinitesimale Änderung von x als dx bezeichnet wird, dann wird die Ableitung von y nach x als dy ∕ dx geschrieben.
Ein Auto, das mit 30 km pro Stunde fährt. Bei einer Fahrzeit von 4 Stunden beträgt die zurückgelegte Strecke 30 × 4 = 120 km. Aber hier stellt sich die Frage: Kann ein Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit von 30 km/h fahren? Nein, wenn man bedenkt, dass es auf der Straße Verkehrssignale, Unebenheiten und Kurven geben wird, wird die Geschwindigkeit variieren. Nun wird das gleiche Problem komplexer: Wie lässt sich die zurückgelegte Strecke eines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmen, das mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fuhr?
Dieses Problem hat eine Lösung in der Analysis! Die Gesamtverdrängung des Autos lässt sich ermitteln, indem man das Integral der Geschwindigkeit des Autos über die Zeit bildet.
Betrachten wir ein anderes Diagramm, in dem die Geschwindigkeit im Verhältnis zur Zeit aufgetragen ist. Wenn wir herausfinden möchten, wie viel Strecke das Auto im Zeitintervall t2 − t1 zurückgelegt hat, dann ist die Strecke Geschwindigkeit × Zeit , also die Fläche unter der Kurve zwischen zwei Punkten t1 und t2.
Um die Fläche abzuleiten, verwenden wir die Integralrechnung. Wenn die Geschwindigkeit s eine Funktion der Zeit t ist, also S = F(t), dann können wir mithilfe eines Integrals die Fläche dieses Abschnitts als \(F(t) = \int s\cdot dt\) ermitteln. Um die Fläche unter dieser Kurve zu ermitteln, leiten wir die Integration einer Funktion ab. Wie das geht, erfahren Sie in der Integrallektion. Wenn dieser Graph die Funktion y = x 2 darstellt, dann ist die Fläche unter der Kurve für die Zeit t1= 1 bis t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (wobei C eine Konstante ist) = 7/3
Integration ist eine Methode, bei der Teile addiert oder zusammengefasst werden, um das Ganze zu finden. Es handelt sich um einen umgekehrten Differenzierungsprozess, bei dem wir die Funktionen in Teile zerlegen. Integral wird verwendet, um die Summe auf einer großen Skala zu finden. Die Berechnung kleinerer Additionsprobleme kann manuell oder mit Taschenrechnern erfolgen. Bei großen Additionsproblemen, bei denen die Grenzen sogar bis ins Unendliche reichen können, werden Integrationsmethoden verwendet.
Mit einem Grenzwert können wir die Tendenz einer Funktion um einen bestimmten Punkt herum untersuchen, selbst wenn die Funktion an diesem Punkt nicht definiert ist. Schauen wir uns die Funktion unten an.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Da sein Nenner Null ist, wenn x=1 ist, ist f(1) undefiniert, sein Grenzwert bei x=1 existiert jedoch und zeigt an, dass der Funktionswert dort gegen 2 geht.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
