El cálculo es el estudio de cómo cambian las cosas. Proporciona un marco para estudiar el cambio y deducir predicciones para dicho cambio. Para comprender el cálculo, debe comprender dos cosas: ¡números y funciones! El cálculo nos ayuda a comprender los cambios entre valores que están relacionados por una función.
Por ejemplo, en el estudio de la propagación de enfermedades infecciosas, dependemos en gran medida del cálculo. Se tienen en cuenta tres factores principales,
Con estas tres variables, el cálculo se puede usar para determinar qué tan lejos y rápido se está propagando una enfermedad, de dónde se originó y cuál es la mejor manera posible de tratarla. A medida que las tasas de infección y recuperación cambian con el tiempo, las ecuaciones deben ser lo suficientemente dinámicas para responder a los nuevos modelos que evolucionan todos los días. Muchas de estas fórmulas son funciones del tiempo, y una forma de pensar en el cálculo es verlo como un estudio de las funciones del tiempo.
Para abordar el problema de las cantidades cambiantes con respecto al tiempo, el cálculo tiene tres herramientas:
(1) Límites, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Un límite da el valor al que se acerca una función a medida que las entradas de esa función se acercan más y más a algún número. Los límites son herramientas para describir cómo una función se aproxima a un valor
(2) Derivadas, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Es la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. La derivada describe cómo cambia una función.
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Corresponde a sumar piezas infinitesimales para encontrar el área, volumen de una región continua. Área derivada integral debajo de una curva de una función
Todas estas herramientas están relacionadas entre sí. Las derivadas se construyen a partir de límites y una integral es la inversa de una derivada.
El estudio formal del cálculo comenzó en el siglo XVII por científicos y matemáticos de renombre como Isaac Newton y Gottfried Leibni. Es una disciplina matemática que se ocupa principalmente de funciones, límites, derivadas e integrales. Hay 2 campos diferentes de cálculo. El primer subcampo se llama cálculo diferencial. Utilizando el concepto de derivadas de funciones, estudia el comportamiento y la tasa de cambio de diferentes cantidades. Mediante el proceso de diferenciación, la gráfica de una función puede calcularse, analizarse y predecirse. El segundo subcampo se llama cálculo integral . La integración es en realidad el proceso inverso de la diferenciación, relacionado con el concepto de la antiderivada.
¿Cuándo usas el cálculo en el mundo real? Se utiliza para crear modelos matemáticos con el fin de llegar a una solución óptima. Por ejemplo,
- En física se utiliza el concepto de cálculo en movimiento, electricidad, calor, luz, armónicos, acústica, astronomía, dinámica, electromagnetismo y la teoría de la relatividad de Einstein utiliza el cálculo.
- En química, el cálculo se puede utilizar para predecir funciones como velocidades de reacción y decaimiento radiactivo.
- En biología, se utiliza para formular tasas como las tasas de natalidad y mortalidad.
- En economía, el cálculo se utiliza para calcular el costo marginal y el ingreso marginal, lo que permite a los economistas predecir el beneficio máximo en un entorno específico.
Tratemos de entender el cálculo usando algunos ejemplos:
Uno de los escenarios donde la solución está solo en el cálculo es conocer la tasa de cambio del volumen de un cubo con respecto al cambio de sus lados. Si \(dy\) representa el cambio de volumen de un cubo y dx representa el cambio de lados del cubo, entonces podemos usar la forma derivada \(^{dy}/_{dx}\) . Desplazamiento del automóvil con respecto al tiempo. El eje x representa el tiempo y y es el desplazamiento. Ahora, ¿puedes encontrar cuál era la velocidad en el punto (t1, y1)?
Verifique la figura 2, si el automóvil cubre la distancia y2 − y1 en el intervalo de tiempo x2 − x1 entonces, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Esto también se puede escribir como un cambio en la distancia/cambio en el tiempo, que es la velocidad. Entonces, cualquier pendiente de una línea en este gráfico da velocidad. a medida que \(\Delta t \) reduce, nos acercamos más a encontrar la velocidad instantánea en un punto de este gráfico. Para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos ya que la velocidad es igual al cambio en la distancia ∕ el cambio en el tiempo. Si está tratando de encontrar la velocidad instantánea usando esta fórmula reduciendo el intervalo de tiempo a casi 0, entonces estamos derivando la derivada de esta función. Aprenderá a derivar la derivada de una función en la lección Derivadas.
Entonces, si este gráfico se define como y = t 2 + 2 , entonces la velocidad en cualquier momento será 2t (derivada usando la fórmula derivada). Ahora puedes encontrar la velocidad instantánea en cualquier momento.
El proceso de encontrar las derivadas se llama diferenciación. Sea la derivada de una función y = f(x). Es la medida de la tasa a la que cambia el valor de y con respecto al cambio de la variable x. Se conoce como la derivada de la función “f”, con respecto a la variable x.
Si un cambio infinitesimal en x se denota como dx, entonces la derivada de y con respecto a x se escribe como dy ∕ dx.
Un automóvil que viaja a 30 km por hora. Si conduce durante 4 horas, la distancia recorrida es 30 × 4 = 120 km. Pero aquí la pregunta es, ¿puede un automóvil correr a una velocidad constante de 30 km∕hora? No, teniendo en cuenta que la carretera tendrá señales de tráfico, baches y giros, la velocidad variará. Entonces ahora el mismo problema se vuelve complejo, ¿cómo determinar la distancia recorrida por un automóvil en un instante particular que estaba corriendo a diferentes velocidades?
¡Este problema tiene solución en cálculo! El desplazamiento total del automóvil se puede encontrar tomando la integral de la velocidad del automóvil con respecto al tiempo.
Consideremos otro gráfico donde se traza la velocidad con respecto al tiempo. Si queremos encontrar la distancia que recorrió el automóvil en el intervalo de tiempo t2− t1, entonces la distancia es velocidad × tiempo , que es el área debajo de la curva entre dos puntos t1 y t2.
Para derivar el área usamos el cálculo integral. Si la velocidad s es una función del tiempo t, es decir, S = F(t), entonces usando la integral podemos encontrar el área de esta parte como \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Para encontrar el área debajo de esta curva derivamos la integración de una función. Cómo hacer eso lo aprenderás en la lección integral. Si este gráfico traza la función y = x 2 , entonces el área bajo la curva para el tiempo t1= 1 a t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (donde C es una constante) = 7/3
La integración es un método de sumar o sumar las partes para encontrar el todo. Es un proceso inverso de diferenciación, donde reducimos las funciones a partes. Integral se utiliza para encontrar la suma bajo una gran escala. El cálculo de los problemas de sumas pequeñas se puede hacer manualmente o con calculadoras, pero para los problemas de sumas grandes, donde los límites pueden llegar hasta el infinito, se utilizan métodos de integración.
Un límite nos permite examinar la tendencia de una función alrededor de un punto dado incluso cuando la función no está definida en el punto. Veamos la función a continuación.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Dado que su denominador es cero cuando x=1, f(1) no está definido, sin embargo, su límite en x=1 existe e indica que el valor de la función se aproxima a 2 allí.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
