حساب دیفرانسیل و انتگرال مطالعه چگونگی تغییر چیزها است. چارچوبی برای مطالعه تغییر و استنباط پیش‌بینی‌هایی برای چنین تغییری فراهم می‌کند. برای درک حساب دیفرانسیل و انتگرال باید دو چیز را درک کنید - اعداد و توابع! حساب دیفرانسیل و انتگرال به ما کمک می کند تا تغییرات بین مقادیری را که با یک تابع مرتبط هستند درک کنیم.
به عنوان مثال، در مطالعه شیوع بیماری های عفونی، ما به شدت به حساب دیفرانسیل و انتگرال متکی هستیم. سه عامل اصلی در نظر گرفته شده است،
با استفاده از این سه متغیر می توان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای تعیین میزان گسترش و سرعت شیوع یک بیماری، منشأ آن و بهترین راه ممکن برای درمان آن استفاده کرد. همانطور که نرخ عفونت و بهبودی در طول زمان تغییر می کند، بنابراین معادلات باید به اندازه کافی پویا باشند تا به مدل های جدیدی که هر روز در حال تکامل هستند پاسخ دهند. بسیاری از این فرمول ها تابع زمان هستند و یکی از راه های فکر کردن به حساب دیفرانسیل و انتگرال این است که آن را مطالعه ای از توابع زمان بدانیم.
برای حل مشکل تغییر کمیت ها با توجه به زمان، حساب دیفرانسیل و انتگرال سه ابزار دارد:
(1) Limits, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : یک محدودیت مقداری را می دهد که یک تابع با نزدیک شدن و نزدیکتر شدن ورودی های آن تابع به یک عدد به آن نزدیک می شود. محدودیت ها ابزارهایی برای توصیف نحوه نزدیک شدن یک تابع به یک مقدار هستند
(2) مشتقات، \(\frac{d}{dx} f(x)\) : نرخ تغییر یک تابع نسبت به یک متغیر است. مشتق چگونگی تغییر یک تابع را توصیف می کند
(3) انتگرال، \(\int f(x)dx\) : مربوط به جمع کردن قطعات بینهایت کوچک برای یافتن مساحت، حجم یک ناحیه پیوسته است. منطقه مشتق انتگرال در زیر منحنی تابع
همه این ابزارها به یکدیگر مرتبط هستند. مشتقات از حدود ساخته می شوند و انتگرال معکوس مشتق است.
مطالعه رسمی حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم توسط دانشمندان و ریاضیدانان مشهوری مانند آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنی آغاز شد. این یک رشته ریاضی است که در درجه اول با توابع، حدود، مشتقات و انتگرال ها سروکار دارد. 2 زمینه مختلف حساب وجود دارد. اولین زیر فیلد حساب دیفرانسیل نامیده می شود. با استفاده از مفهوم مشتقات تابع، رفتار و سرعت چگونگی تغییر کمیت های مختلف را مطالعه می کند. با استفاده از فرآیند تمایز، نمودار یک تابع را می توان محاسبه، تجزیه و تحلیل و پیش بینی کرد. زیر فیلد دوم نامیده می شود حساب انتگرال . ادغام در واقع فرآیند معکوس تمایز است که به مفهوم ضد مشتق مربوط می شود.
چه زمانی از حساب دیفرانسیل و انتگرال در دنیای واقعی استفاده می کنید؟ برای ایجاد مدل های ریاضی به منظور رسیدن به یک راه حل بهینه استفاده می شود. مثلا،
- در فیزیک از مفهوم حساب دیفرانسیل و انتگرال در حرکت، الکتریسیته، گرما، نور، هارمونیک، آکوستیک، نجوم، دینامیک، الکترومغناطیس استفاده می شود و نظریه نسبیت اینشتین از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده می کند.
- در شیمی می توان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی توابعی مانند سرعت واکنش و واپاشی رادیواکتیو استفاده کرد.
- در زیست شناسی، از آن برای فرمول بندی نرخ هایی مانند نرخ تولد و مرگ استفاده می شود.
- در علم اقتصاد، حساب دیفرانسیل و انتگرال برای محاسبه هزینه نهایی و درآمد نهایی استفاده می شود و اقتصاددانان را قادر می سازد حداکثر سود را در یک محیط خاص پیش بینی کنند.
بیایید سعی کنیم حساب دیفرانسیل و انتگرال را با استفاده از چند مثال درک کنیم:
یکی از سناریوهایی که جواب فقط در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، دانستن سرعت تغییر حجم یک مکعب نسبت به تغییر اضلاع آن است. اگر \(dy\) نشان دهنده تغییر حجم یک مکعب و dx نشان دهنده تغییر اضلاع مکعب است، می توانیم از شکل مشتق \(^{dy}/_{dx}\) استفاده کنیم. اجازه دهید نمودار را رسم کنیم. جابجایی خودرو با توجه به زمان محور x نشان دهنده زمان و y جابجایی است. حالا می توانید بفهمید سرعت در نقطه (t1,y1) چقدر بوده است؟
شکل 2 را بررسی کنید، اگر خودرو مسافت y2 - y1 را در بازه زمانی x2 - x1 \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) این را می توان به صورت تغییر فاصله/تغییر زمان که سرعت است نیز نوشت. بنابراین هر شیب یک خط در این نمودار سرعت می دهد. با کاهش \(\Delta t \) به یافتن سرعت لحظه ای در نقطه ای از این نمودار نزدیک می شویم. برای یافتن سرعت به دو نقطه نیاز داریم زیرا سرعت برابر است با تغییر فاصله ∕ تغییر در زمان. اگر می خواهید سرعت لحظه ای را با استفاده از این فرمول با کاهش فاصله زمانی تقریباً به 0 بیابید، پس ما مشتق این تابع را استخراج می کنیم. نحوه استخراج مشتق از یک تابع را در درس مشتق یاد خواهید گرفت.
بنابراین اگر این نمودار به صورت y = t 2 + 2 تعریف شود، سرعت در هر نقطه از زمان 2t خواهد بود (با استفاده از فرمول مشتق به دست می آید). اکنون می توانید سرعت لحظه ای را در هر نقطه از زمان پیدا کنید.
فرآیند یافتن مشتقات را تمایز می گویند. فرض کنید مشتق یک تابع y = f(x) باشد. اندازه گیری نرخی است که در آن مقدار y نسبت به تغییر متغیر x تغییر می کند. به عنوان مشتق تابع "f" با توجه به متغیر x شناخته می شود.
اگر یک تغییر بینهایت کوچک در x با dx نشان داده شود، مشتق y نسبت به x به صورت dy ∕ dx نوشته می شود.
خودرویی که با سرعت 30 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. اگر 4 ساعت رانندگی کند، مسافت طی شده 30 × 4 = 120 کیلومتر است. اما سوال اینجاست که آیا یک ماشین می تواند با سرعت ثابت 30 کیلومتر بر ساعت حرکت کند؟ خیر، با توجه به اینکه جاده دارای علائم راهنمایی و رانندگی، دست اندازها و پیچ ها خواهد بود، سرعت تغییر می کند. بنابراین در حال حاضر همان مشکل پیچیده می شود، برای اینکه چگونه می توان مسافت طی شده با ماشین را در یک لحظه خاص که با سرعت های متفاوت می دوید، تعیین کرد؟
این مشکل در حساب دیفرانسیل و انتگرال راه حل دارد! کل جابجایی ماشین را می توان با گرفتن انتگرال سرعت ماشین نسبت به زمان پیدا کرد.
اجازه دهید نمودار دیگری را در نظر بگیریم که در آن سرعت با توجه به زمان رسم می شود. اگر بخواهیم بفهمیم که خودرو در بازه زمانی t2−t1 چه مقدار مسافت را طی کرده است، آن‌گاه مسافت سرعت × زمان است که ناحیه زیر منحنی بین دو نقطه t1 و t2 است.
برای بدست آوردن مساحت از حساب انتگرال استفاده می کنیم. اگر سرعت s تابعی از زمان t باشد، یعنی S = F(t) پس با استفاده از انتگرال می توانیم مساحت این قسمت را به صورت \(F(t) = \int s\cdot dt\) پیدا کنیم. برای یافتن ناحیه زیر این منحنی، ادغام یک تابع را استخراج می کنیم. نحوه انجام آن را در درس انتگرال خواهید آموخت. اگر این نمودار تابع y = x 2 را رسم کند، ناحیه زیر منحنی برای زمان t1= 1 تا t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (که در آن C یک ثابت است) = 7/3
یکپارچه سازی روشی برای جمع یا جمع کردن اجزا برای یافتن کل است. این یک فرآیند معکوس از تمایز است، که در آن ما توابع را به قطعات کاهش می دهیم. انتگرال برای یافتن جمع در مقیاس وسیع استفاده می شود. محاسبه مسائل جمع کوچک را می توان به صورت دستی یا توسط ماشین حساب انجام داد، اما برای مشکلات جمع بزرگ، که محدودیت ها می تواند حتی به بی نهایت برسد، از روش های یکپارچه سازی استفاده می شود.
یک حد به ما اجازه می دهد که گرایش یک تابع را در اطراف یک نقطه مشخص بررسی کنیم، حتی زمانی که تابع در آن نقطه تعریف نشده باشد. اجازه دهید به تابع زیر نگاه کنیم.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
از آنجایی که مخرج آن صفر است وقتی x=1، f(1) تعریف نشده است، با این حال، حد آن در x=1 وجود دارد و نشان می دهد که مقدار تابع در آنجا به 2 نزدیک می شود.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
