Le calcul est l'étude de la façon dont les choses changent. Il fournit un cadre pour étudier le changement et en déduire des prédictions pour un tel changement. Pour comprendre le calcul, vous devez comprendre deux choses : les nombres et les fonctions ! Le calcul nous aide à comprendre les changements entre les valeurs liées par une fonction.
Par exemple, dans l'étude de la propagation des maladies infectieuses, nous nous appuyons fortement sur le calcul. Trois facteurs principaux sont pris en compte,
Avec ces trois variables, le calcul peut être utilisé pour déterminer à quelle distance et à quelle vitesse une maladie se propage, d'où elle provient et quelle est la meilleure façon possible de la traiter. Comme les taux d'infection et de guérison changent avec le temps, les équations doivent être suffisamment dynamiques pour répondre aux nouveaux modèles qui évoluent chaque jour. Beaucoup de ces formules sont des fonctions du temps, et une façon de penser au calcul est de le voir comme une étude des fonctions du temps.
Pour résoudre le problème de l'évolution des quantités par rapport au temps, le calcul dispose de trois outils :
(1) Limits, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Une limite donne la valeur à laquelle une fonction s'approche lorsque les entrées de cette fonction se rapprochent de plus en plus d'un certain nombre. Les limites sont des outils pour décrire comment une fonction s'approche d'une valeur
(2) Dérivées, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : C'est le taux de variation d'une fonction par rapport à une variable. La dérivée décrit comment une fonction change
(3) Intégrale, \(\int f(x)dx\) : Correspond à la sommation de morceaux infinitésimaux pour trouver l'aire, le volume d'une région continue. Aire dérivée intégrale sous une courbe d'une fonction
Tous ces outils sont liés les uns aux autres. Les dérivées sont construites à partir de limites et une intégrale est l'inverse d'une dérivée.
L'étude formelle du calcul a commencé au 17ème siècle par des scientifiques et des mathématiciens bien connus comme Isaac Newton et Gottfried Leibni. C'est une discipline mathématique qui s'intéresse principalement aux fonctions, aux limites, aux dérivées et aux intégrales. Il existe 2 champs de calcul différents. Le premier sous-domaine est appelé calcul différentiel. En utilisant le concept de dérivées de fonctions, il étudie le comportement et le taux de variation des différentes quantités. En utilisant le processus de différenciation, le graphique d'une fonction peut en fait être calculé, analysé et prédit. Le deuxième sous-champ s'appelle calcul intégral . L'intégration est en fait le processus inverse de la différenciation, concerné par le concept de l'anti-dérivé.
Quand utilisez-vous le calcul dans le monde réel ? Il est utilisé pour créer des modèles mathématiques afin d'arriver à une solution optimale. Par exemple,
- En physique, le concept de calcul est utilisé dans le mouvement, l'électricité, la chaleur, la lumière, les harmoniques, l'acoustique, l'astronomie, la dynamique, l'électromagnétisme et la théorie de la relativité d'Einstein utilise le calcul.
- En chimie, le calcul peut être utilisé pour prédire des fonctions telles que les taux de réaction et la désintégration radioactive.
- En biologie, il est utilisé pour formuler des taux tels que les taux de natalité et de mortalité.
- En économie, le calcul est utilisé pour calculer le coût marginal et le revenu marginal, permettant aux économistes de prédire le profit maximum dans un cadre spécifique.
Essayons de comprendre le calcul à l'aide de quelques exemples :
L'un des scénarios où la solution n'est que dans le calcul consiste à connaître le taux de variation du volume d'un cube par rapport au changement de ses côtés. Si \(dy\) représente le changement de volume d'un cube et dx représente le changement des côtés du cube, alors nous pouvons utiliser la forme dérivée \(^{dy}/_{dx}\) . déplacement de la voiture par rapport au temps. L'axe des x représente le temps et y le déplacement. Pouvez-vous maintenant trouver quelle était la vitesse au point (t1,y1) ?
Vérifiez la figure 2, si la voiture couvre la distance y2 − y1 à l'intervalle de temps x2 − x1 alors, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Cela peut aussi s'écrire comme un changement de distance/changement de temps, c'est-à-dire la vitesse. Ainsi, toute pente d'une ligne dans ce graphique donne la vitesse. à mesure que \(\Delta t \) diminue, nous nous rapprochons de la recherche de la vitesse instantanée en un point de ce graphique. Pour trouver la vitesse, nous avons besoin de deux points car la vitesse est égale au changement de distance ∕ changement de temps. Si vous essayez de trouver la vitesse instantanée à l'aide de cette formule en réduisant l'intervalle de temps à presque 0, nous dérivons la dérivée de cette fonction. Vous apprendrez à dériver une dérivée d'une fonction dans la leçon Dérivée.
Donc, si ce graphique est défini comme y = t 2 + 2 , la vitesse à tout moment sera 2t (dérivée à l'aide de la formule dérivée). Vous pouvez maintenant trouver la vitesse instantanée à tout moment.
Le processus de recherche des dérivés est appelé différenciation. Soit la dérivée d'une fonction y = f(x). C'est la mesure du taux auquel la valeur de y change par rapport au changement de la variable x. Elle est connue sous le nom de dérivée de la fonction « f », par rapport à la variable x.
Si un changement infinitésimal de x est noté dx, alors la dérivée de y par rapport à x s'écrit dy ∕ dx.
Une voiture qui roule à 30 km/h. S'il roule pendant 4 heures, la distance parcourue est de 30 × 4 = 120 km. Mais ici la question est, une voiture peut-elle rouler à une vitesse constante de 30km∕heure ? Non, étant donné que la route aura des feux de circulation, des bosses et des virages, la vitesse va varier. Alors maintenant, le même problème devient complexe, car comment déterminer la distance parcourue par une voiture à un instant donné qui roulait à des vitesses variables ?
Ce problème a une solution en calcul ! Le déplacement total de la voiture peut être trouvé en prenant l'intégrale de la vitesse de la voiture par rapport au temps.
Considérons un autre graphique où la vitesse est tracée par rapport au temps. Si nous voulons trouver la distance parcourue par la voiture dans l'intervalle de temps t2− t1, alors la distance est vitesse × temps , qui est l'aire sous la courbe entre deux points t1 et t2.
Pour dériver l'aire, nous utilisons le calcul intégral. Si la vitesse s est une fonction du temps t, c'est-à-dire S = F(t) alors en utilisant l'intégrale nous pouvons trouver l'aire de cette portion comme \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Pour trouver l'aire sous cette courbe, nous dérivons l'intégration d'une fonction. Comment faire cela, vous apprendrez dans la leçon intégrale. Si ce graphique trace la fonction y = x 2 alors l'aire sous la courbe pour le temps t1= 1 à t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (où C est une constante) = 7/3
L'intégration est une méthode qui consiste à additionner ou à résumer les parties pour trouver le tout. C'est un processus inverse de différenciation, où nous réduisons les fonctions en parties. L'intégrale est utilisée pour trouver la sommation sous une vaste échelle. Le calcul des petits problèmes d'addition peut être fait manuellement ou par des calculatrices, mais pour les gros problèmes d'addition, où les limites peuvent atteindre même l'infini, des méthodes d'intégration sont utilisées.
Une limite nous permet d'examiner la tendance d'une fonction autour d'un point donné même lorsque la fonction n'est pas définie à ce point. Regardons la fonction ci-dessous.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Comme son dénominateur est nul lorsque x=1, f(1) est indéfinie, cependant, sa limite à x=1 existe et indique que la valeur de la fonction y tend vers 2.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
