कैलकुलस इस बात का अध्ययन है कि चीजें कैसे बदलती हैं। यह परिवर्तन का अध्ययन करने और ऐसे परिवर्तन के लिए पूर्वानुमान निकालने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है। कैलकुलस को समझने के लिए आपको दो चीजों की समझ होनी चाहिए - संख्याएं और फ़ंक्शन! कैलकुलस हमें किसी फ़ंक्शन से संबंधित मानों के बीच परिवर्तनों को समझने में मदद करता है।
उदाहरण के लिए, संक्रामक रोग के प्रसार के अध्ययन में, हम कैलकुलस पर बहुत अधिक भरोसा करते हैं। तीन मुख्य कारकों को ध्यान में रखा जाता है,
इन तीन चरों के साथ, कैलकुलस का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई बीमारी कितनी दूर और तेजी से फैल रही है, इसकी उत्पत्ति कहां से हुई है, और इसका इलाज करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है। चूंकि समय के साथ संक्रमण और रिकवरी की दर बदलती रहती है, इसलिए समीकरण इतने गतिशील होने चाहिए कि वे हर दिन विकसित हो रहे नए मॉडलों पर प्रतिक्रिया दे सकें। इनमें से कई सूत्र समय के कार्य हैं, और कैलकुलस के बारे में सोचने का एक तरीका इसे समय के कार्यों के अध्ययन के रूप में देखना है।
समय के साथ बदलती मात्राओं की समस्या से निपटने के लिए, कैलकुलस में तीन उपकरण हैं:
(1) सीमाएं, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : एक सीमा वह मान देती है जो एक फ़ंक्शन के करीब पहुंचता है क्योंकि उस फ़ंक्शन के इनपुट किसी संख्या के करीब और करीब आते हैं। सीमाएं यह वर्णन करने के लिए उपकरण हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी मान तक कैसे पहुंचता है
(2) व्युत्पन्न, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : यह एक चर के संबंध में एक फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है। व्युत्पन्न बताता है कि कोई फ़ंक्शन कैसे बदलता है
(3) इंटीग्रल, \(\int f(x)dx\) : एक सतत क्षेत्र का क्षेत्रफल, आयतन ज्ञात करने के लिए अनंत टुकड़ों के योग के अनुरूप है। किसी फ़ंक्शन के वक्र के नीचे अभिन्न व्युत्पन्न क्षेत्र
ये सभी उपकरण एक दूसरे से संबंधित हैं। डेरिवेटिव्स सीमाओं से निर्मित होते हैं और इंटीग्रल डेरिवेटिव का व्युत्क्रम होता है।
कैलकुलस का औपचारिक अध्ययन 17वीं शताब्दी में आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनी जैसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों और गणितज्ञों द्वारा शुरू किया गया था। यह एक गणितीय अनुशासन है जो मुख्य रूप से कार्यों, सीमाओं, व्युत्पन्नों और अभिन्नों से संबंधित है। कैलकुलस के 2 अलग-अलग क्षेत्र हैं। पहले उपक्षेत्र को डिफरेंशियल कैलकुलस कहा जाता है। फ़ंक्शन डेरिवेटिव की अवधारणा का उपयोग करते हुए, यह विभिन्न मात्राओं में परिवर्तन के व्यवहार और दर का अध्ययन करता है। विभेदन की प्रक्रिया का उपयोग करके, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की वास्तव में गणना, विश्लेषण और भविष्यवाणी की जा सकती है। दूसरा उपक्षेत्र कहलाता है अभिन्न कलन . एकीकरण वास्तव में विभेदन की विपरीत प्रक्रिया है, जिसका संबंध विरोधी-व्युत्पन्न की अवधारणा से है।
आप वास्तविक दुनिया में कैलकुलस का उपयोग कब करते हैं? इसका उपयोग इष्टतम समाधान तक पहुंचने के लिए गणितीय मॉडल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए,
- भौतिकी में, कैलकुलस की अवधारणा का उपयोग गति, बिजली, गर्मी, प्रकाश, हार्मोनिक्स, ध्वनिकी, खगोल विज्ञान, गतिशीलता, विद्युत चुंबकत्व और आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में कैलकुलस का उपयोग किया जाता है।
- रसायन विज्ञान में, कैलकुलस का उपयोग प्रतिक्रिया दर और रेडियोधर्मी क्षय जैसे कार्यों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है।
- जीव विज्ञान में, इसका उपयोग जन्म और मृत्यु दर जैसी दरें तैयार करने के लिए किया जाता है।
- अर्थशास्त्र में, कैलकुलस का उपयोग सीमांत लागत और सीमांत राजस्व की गणना करने के लिए किया जाता है, जो अर्थशास्त्रियों को एक विशिष्ट सेटिंग में अधिकतम लाभ की भविष्यवाणी करने में सक्षम बनाता है।
आइए कुछ उदाहरणों का उपयोग करके कैलकुलस को समझने का प्रयास करें:
उन परिदृश्यों में से एक जहां समाधान केवल कैलकुलस में है, एक घन के किनारों में परिवर्तन के संबंध में उसके आयतन में परिवर्तन की दर को जानना है। यदि \(dy\) घन के आयतन में परिवर्तन को दर्शाता है और dx घन की भुजाओं में परिवर्तन को दर्शाता है, तो हम व्युत्पन्न रूप \(^{dy}/_{dx}\) उपयोग कर सकते हैं। आइए हम आलेखित करें समय के सापेक्ष कार का विस्थापन। x-अक्ष समय को दर्शाता है और y विस्थापन है। अब क्या आप पता लगा सकते हैं कि बिंदु (t1,y1) पर गति क्या थी?
चित्र 2 की जाँच करें, यदि कार समय अंतराल x2 - x1 पर दूरी y2 - y1 तय करती है, तो, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) इसे दूरी में परिवर्तन/समय में परिवर्तन के रूप में भी लिखा जा सकता है, जो गति है। तो इस ग्राफ़ में किसी रेखा का कोई भी ढलान गति देता है। जैसे ही \(\Delta t \) कम होता है हम इस ग्राफ़ में एक बिंदु पर तात्कालिक गति खोजने के करीब पहुँच जाते हैं। गति ज्ञात करने के लिए हमें दो बिंदुओं की आवश्यकता है क्योंकि गति दूरी में परिवर्तन - समय में परिवर्तन के बराबर है। यदि आप इस सूत्र का उपयोग करके समय अंतराल को लगभग 0 तक कम करके तात्कालिक गति ज्ञात करने का प्रयास कर रहे हैं, तो हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त कर रहे हैं। आप व्युत्पन्न पाठ में सीखेंगे कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे निकाला जाता है।
इसलिए यदि इस ग्राफ को y = t 2 + 2 के रूप में परिभाषित किया गया है तो किसी भी समय गति 2t होगी (व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके प्राप्त)। अब आप किसी भी समय तात्कालिक गति ज्ञात कर सकते हैं।
अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहते हैं। मान लीजिए, किसी फलन का अवकलज y = f(x) है। यह उस दर का माप है जिस पर चर x के परिवर्तन के संबंध में y का मान बदलता है। इसे वेरिएबल x के संबंध में फ़ंक्शन "f" के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है।
यदि x में एक अत्यंत छोटे परिवर्तन को dx के रूप में दर्शाया जाता है, तो x के संबंध में y का अवकलज dy ∕ dx के रूप में लिखा जाता है।
एक कार जो 30 किमी प्रति घंटे की रफ्तार से चलती है। यदि यह 4 घंटे चलती है तो तय की गई दूरी 30 × 4 = 120 किमी है। लेकिन यहां सवाल यह है कि क्या कोई कार 30 किमी∕घंटे की स्थिर गति से चल सकती है? नहीं, यह देखते हुए कि सड़क पर ट्रैफिक सिग्नल, उतार-चढ़ाव और मोड़ होंगे, गति अलग-अलग होगी। तो अब वही समस्या जटिल हो गई है कि अलग-अलग गति से चलने वाली कार द्वारा किसी विशेष क्षण में तय की गई दूरी कैसे निर्धारित की जाए?
इस समस्या का समाधान कैलकुलस में है! कार का कुल विस्थापन समय के संबंध में कार के वेग के अभिन्न अंग को लेकर पाया जा सकता है।
आइए एक अन्य ग्राफ पर विचार करें जहां गति को समय के संबंध में दर्शाया गया है। यदि हम यह जानना चाहते हैं कि कार ने समय अंतराल t2− t1 में कितनी दूरी तय की, तो दूरी गति × समय है , जो दो बिंदुओं t1 और t2 के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्र है।
क्षेत्रफल निकालने के लिए हम समाकलन कलन का उपयोग करते हैं। यदि गति s समय t का एक फलन है, अर्थात S = F(t) तो अभिन्न का उपयोग करके हम इस भाग का क्षेत्रफल \(F(t) = \int s\cdot dt\) रूप में ज्ञात कर सकते हैं। इस वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए हम एक फ़ंक्शन का एकीकरण प्राप्त करते हैं। यह कैसे करें, आप अभिन्न पाठ में सीखेंगे। यदि यह ग्राफ़ फ़ंक्शन y = x 2 को प्लॉट करता है तो समय t1= 1 से t2= 2 के लिए वक्र के नीचे का क्षेत्र \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (जहाँ C एक स्थिरांक है) = 7/3
एकीकरण संपूर्ण को खोजने के लिए भागों को जोड़ने या उनका योग करने की एक विधि है। यह विभेदीकरण की एक विपरीत प्रक्रिया है, जहाँ हम कार्यों को भागों में कम करते हैं। इंटीग्रल का उपयोग विशाल पैमाने के अंतर्गत योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। छोटी जोड़ समस्याओं की गणना मैन्युअल रूप से या कैलकुलेटर द्वारा की जा सकती है, लेकिन बड़ी जोड़ समस्याओं के लिए, जहां सीमाएं अनंत तक भी पहुंच सकती हैं, एकीकरण विधियों का उपयोग किया जाता है।
एक सीमा हमें किसी दिए गए बिंदु के आसपास किसी फ़ंक्शन की प्रवृत्ति की जांच करने की अनुमति देती है, भले ही फ़ंक्शन उस बिंदु पर परिभाषित न हो। आइए नीचे दिए गए फ़ंक्शन को देखें।
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
चूँकि इसका हर शून्य है जब x=1, f(1) अपरिभाषित है, तथापि, x=1 पर इसकी सीमा मौजूद है और इंगित करती है कि फ़ंक्शन मान वहां 2 के करीब पहुंचता है।
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
