Računica je studija o tome kako se stvari mijenjaju. Pruža okvir za proučavanje promjena i izvođenje predviđanja za takve promjene. Da biste razumjeli račun, morate razumjeti dvije stvari - brojeve i funkcije! Račun nam pomaže razumjeti promjene između vrijednosti koje su povezane funkcijom.
Na primjer, u proučavanju širenja zaraznih bolesti, uvelike se oslanjamo na računicu. Uzeta su u obzir tri glavna faktora,
S ove tri varijable, kamenac se može koristiti za određivanje koliko daleko i brzo se bolest širi, odakle je potekla i koji je najbolji mogući način za njezino liječenje. Kako se stope infekcije i oporavka mijenjaju tijekom vremena, jednadžbe moraju biti dovoljno dinamične da odgovore na nove modele koji se razvijaju svaki dan. Mnoge od ovih formula su funkcije vremena, a jedan od načina razmišljanja o računu je da ga vidimo kao proučavanje funkcija vremena.
Za rješavanje problema promjene količina s obzirom na vrijeme, račun ima tri alata:
(1) Ograničenja, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Ograničenje daje vrijednost kojoj se funkcija približava kako se ulazi te funkcije sve više i više približavaju nekom broju. Ograničenja su alati za opisivanje načina na koji funkcija pristupa vrijednosti
(2) Derivacije, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : To je stopa promjene funkcije u odnosu na varijablu. Derivacija opisuje kako se funkcija mijenja
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Odgovara zbrajanju infinitezimalnih dijelova za pronalaženje površine, volumena kontinuiranog područja. Područje integralnog izvoda ispod krivulje funkcije
Svi ovi alati međusobno su povezani. Derivacije se grade od granica, a integral je inverz derivacije.
Formalno proučavanje kalkulusa započeli su u 17. stoljeću poznati znanstvenici i matematičari poput Isaaca Newtona i Gottfrieda Leibnija. To je matematička disciplina koja se primarno bavi funkcijama, granicama, derivacijama i integralima. Postoje 2 različita polja računanja. Prvo podpolje naziva se diferencijalni račun. Koristeći koncept derivacija funkcije, proučava ponašanje i brzinu promjene različitih veličina. Koristeći proces diferencijacije, graf funkcije može se zapravo izračunati, analizirati i predvidjeti. Drugo potpolje zove se integralni račun . Integracija je zapravo obrnuti proces od diferencijacije, koji se bavi konceptom antiderivacije.
Kada koristite račun u stvarnom svijetu? Koristi se za izradu matematičkih modela kako bi se došlo do optimalnog rješenja. Na primjer,
- U fizici se pojam računa koristi u gibanju, elektricitetu, toplini, svjetlosti, harmonici, akustici, astronomiji, dinamici, elektromagnetizmu i Einsteinovoj teoriji relativnosti koristi se račun.
- U kemiji se račun može koristiti za predviđanje funkcija kao što su brzine reakcija i radioaktivni raspad.
- U biologiji se koristi za formuliranje stopa kao što su stope nataliteta i smrtnosti.
- U ekonomiji se računica koristi za izračunavanje graničnog troška i graničnog prihoda, što ekonomistima omogućuje predviđanje maksimalne dobiti u određenom okruženju.
Pokušajmo razumjeti računicu koristeći nekoliko primjera:
Jedan od scenarija gdje je rješenje samo u računici je znati brzinu promjene volumena kocke u odnosu na promjenu njezinih stranica. Ako \(dy\) predstavlja promjenu volumena kocke, a dx predstavlja promjenu stranica kocke, tada možemo koristiti izvedeni oblik \(^{dy}/_{dx}\) . Nacrtajmo pomak automobila u odnosu na vrijeme. X-os predstavlja vrijeme, a y je pomak. Možete li sada pronaći koja je bila brzina u točki (t1,y1)?
Provjerite sliku 2, ako automobil prijeđe udaljenost y2 − y1 u vremenskom intervalu x2 − x1 tada \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Ovo se također može napisati kao promjena udaljenosti/promjena vremena, što je brzina. Dakle, svaki nagib linije u ovom grafikonu daje brzinu. kako se \(\Delta t \) smanjuje, približavamo se pronalaženju trenutne brzine u točki na ovom grafikonu. Za određivanje brzine potrebne su nam dvije točke jer je brzina jednaka promjeni udaljenosti ∕ promjeni vremena. Ako pokušavate pronaći trenutnu brzinu pomoću ove formule smanjivanjem vremenskog intervala na gotovo 0, tada izvodimo izvod ove funkcije. Naučit ćete kako izvesti izvod funkcije u lekciji Derivacija.
Dakle, ako je ovaj graf definiran kao y = t 2 + 2 tada će brzina u bilo kojem trenutku biti 2t (izvedeno pomoću formule derivata). Sada možete pronaći trenutnu brzinu u bilo kojem trenutku.
Proces pronalaženja derivacija naziva se diferencijacija. Neka je derivacija funkcije y = f(x). To je mjera brzine kojom se vrijednost y mijenja u odnosu na promjenu varijable x. Poznata je kao derivacija funkcije “f” u odnosu na varijablu x.
Ako se infinitezimalna promjena u x označi kao dx, tada se derivacija od y u odnosu na x piše kao dy ∕ dx.
Auto koji vozi 30 km na sat. Ako vozi 4 sata tada je prijeđeni put 30 × 4 = 120 km. Ali ovdje je pitanje može li automobil voziti konstantnom brzinom od 30 km/sat? Ne, s obzirom da će cesta imati prometnu signalizaciju, izbočine i zavoje, brzina će varirati. Dakle, sada isti problem postaje složen, jer kako odrediti udaljenost prijeđenu automobilom u određenom trenutku koji je jurio različitim brzinama?
Ovaj problem ima rješenje u računici! Ukupni pomak automobila može se pronaći uzimanjem integrala brzine automobila s obzirom na vrijeme.
Razmotrimo još jedan grafikon gdje je brzina prikazana u odnosu na vrijeme. Ako želimo pronaći koliku je udaljenost automobil prešao u vremenskom intervalu t2− t1, tada je udaljenost brzina × vrijeme , što je površina ispod krivulje između dviju točaka t1 i t2.
Za izvođenje površine koristimo integralni račun. Ako je brzina s funkcija vremena t, tj. S = F(t), tada pomoću integrala možemo pronaći površinu ovog dijela kao \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Da bismo pronašli područje ispod ove krivulje, izvodimo integraciju funkcije. Kako to učiniti naučit ćete u integralnoj lekciji. Ako ovaj grafikon iscrtava funkciju y = x 2 , tada je površina ispod krivulje za vrijeme t1= 1 do t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (gdje je C konstanta) = 7/3
Integracija je metoda zbrajanja ili zbrajanja dijelova da bi se dobila cjelina. To je obrnuti proces od diferencijacije, gdje funkcije reduciramo na dijelove. Integral se koristi za pronalaženje zbroja u velikom mjerilu. Izračunavanje malih problema zbrajanja može se obaviti ručno ili pomoću kalkulatora, ali za velike probleme zbrajanja, gdje granice mogu dosezati čak do beskonačnosti, koriste se metode integracije.
Granica nam omogućuje da ispitamo tendenciju funkcije oko dane točke čak i kada funkcija nije definirana u točki. Pogledajmo funkciju u nastavku.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Budući da je njegov nazivnik nula kada je x=1, f(1) je nedefiniran, međutim, njegova granica na x=1 postoji i ukazuje da se vrijednost funkcije tamo približava 2.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
