Kalkulus adalah studi tentang bagaimana sesuatu berubah. Ini menyediakan kerangka kerja untuk mempelajari perubahan dan menyimpulkan prediksi untuk perubahan tersebut. Untuk memahami kalkulus, Anda harus memahami dua hal - angka dan fungsi! Kalkulus membantu kita memahami perubahan antara nilai-nilai yang terkait dengan suatu fungsi.
Misalnya, dalam studi penyebaran penyakit menular, kami sangat bergantung pada kalkulus. Tiga faktor utama yang diperhitungkan,
Dengan ketiga variabel tersebut, kalkulus dapat digunakan untuk menentukan seberapa jauh dan cepat suatu penyakit menyebar, dari mana asalnya, dan bagaimana cara terbaik untuk mengobatinya. Karena tingkat infeksi dan pemulihan berubah dari waktu ke waktu, persamaan harus cukup dinamis untuk merespons model baru yang berkembang setiap hari. Banyak dari rumus ini adalah fungsi waktu, dan salah satu cara memikirkan kalkulus adalah melihatnya sebagai studi fungsi waktu.
Untuk mengatasi masalah perubahan besaran terhadap waktu, kalkulus memiliki tiga alat:
(1) Limits, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Limit memberikan nilai yang didekati suatu fungsi saat input fungsi tersebut semakin mendekati angka tertentu. Batas adalah alat untuk menggambarkan bagaimana suatu fungsi mendekati suatu nilai
(2) Turunan, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Laju perubahan fungsi terhadap variabel. Derivatif menjelaskan bagaimana suatu fungsi berubah
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Sesuai dengan penjumlahan potongan-potongan yang sangat kecil untuk mencari luas, volume dari suatu daerah kontinu. Daerah turunan integral di bawah kurva suatu fungsi
Semua alat ini saling terkait satu sama lain. Turunan dibangun dari batas dan integral adalah kebalikan dari turunan.
Studi formal kalkulus dimulai pada abad ke-17 oleh ilmuwan dan ahli matematika terkenal seperti Isaac Newton dan Gottfried Leibni. Ini adalah disiplin matematika yang terutama berkaitan dengan fungsi, limit, turunan, dan integral. Ada 2 bidang kalkulus yang berbeda. Subbidang pertama disebut kalkulus diferensial. Menggunakan konsep turunan fungsi, ia mempelajari perilaku dan laju perubahan kuantitas yang berbeda. Dengan menggunakan proses diferensiasi, grafik suatu fungsi sebenarnya dapat dihitung, dianalisis, dan diprediksi. Subbidang kedua disebut kalkulus integral . Integrasi sebenarnya adalah proses kebalikan dari diferensiasi, berkaitan dengan konsep antiturunan.
Kapan Anda menggunakan kalkulus di dunia nyata? Ini digunakan untuk membuat model matematika untuk sampai pada solusi optimal. Misalnya,
- Dalam fisika, konsep kalkulus digunakan dalam gerak, listrik, panas, cahaya, harmonik, akustik, astronomi, dinamika, elektromagnetisme dan teori relativitas Einstein menggunakan kalkulus.
- Dalam kimia, kalkulus dapat digunakan untuk memprediksi fungsi seperti laju reaksi dan peluruhan radioaktif.
- Dalam biologi, ini digunakan untuk merumuskan angka seperti angka kelahiran dan kematian.
- Dalam ilmu ekonomi, kalkulus digunakan untuk menghitung biaya marjinal dan pendapatan marjinal, yang memungkinkan para ekonom memprediksi laba maksimum dalam pengaturan tertentu.
Mari kita coba memahami kalkulus menggunakan beberapa contoh:
Salah satu skenario di mana solusinya hanya dalam kalkulus adalah mengetahui laju perubahan volume kubus sehubungan dengan perubahan sisinya. Jika \(dy\) menyatakan perubahan volume kubus dan dx menyatakan perubahan sisi kubus, maka kita dapat menggunakan bentuk turunan \(^{dy}/_{dx}\) . perpindahan mobil terhadap waktu. Sumbu x melambangkan waktu dan y melambangkan perpindahan. Sekarang dapatkah Anda menemukan berapa kecepatan di titik (t1,y1)?
Perhatikan gambar 2, jika mobil menempuh jarak y2 − y1 pada selang waktu x2 − x1 maka, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Bisa juga ditulis sebagai perubahan jarak/perubahan waktu, yaitu kecepatan. Jadi setiap kemiringan garis dalam grafik ini memberikan kecepatan. sebagai \(\Delta t \) mengurangi kita semakin dekat untuk menemukan kecepatan sesaat pada suatu titik dalam grafik ini. Untuk mencari kelajuan kita membutuhkan dua titik karena kelajuan sama dengan perubahan jarak ∕ perubahan waktu. Jika Anda mencoba mencari kecepatan sesaat menggunakan rumus ini dengan mengurangi selang waktu hingga hampir 0, maka kita menurunkan turunan dari fungsi ini. Anda akan mempelajari cara menurunkan turunan dari suatu fungsi dalam pelajaran Derivatif.
Jadi jika grafik ini didefinisikan sebagai y = t 2 + 2 maka kelajuan pada setiap titik waktu adalah 2t (diturunkan menggunakan rumus turunan). Sekarang Anda dapat menemukan kecepatan sesaat kapan saja.
Proses menemukan turunan disebut diferensiasi. Misalkan, turunan dari suatu fungsi adalah y = f(x). Ini adalah ukuran tingkat di mana nilai y berubah sehubungan dengan perubahan variabel x. Ini dikenal sebagai turunan dari fungsi "f", sehubungan dengan variabel x.
Jika perubahan sangat kecil dalam x dilambangkan sebagai dx, maka turunan dari y terhadap x ditulis sebagai dy ∕ dx.
Sebuah mobil yang melaju dengan kecepatan 30 km per jam. Jika menempuh perjalanan selama 4 jam maka jarak yang ditempuh adalah 30×4 = 120 km. Tapi di sini pertanyaannya adalah, bisakah sebuah mobil berjalan dengan kecepatan konstan 30km∕jam? Tidak, mengingat jalan tersebut akan memiliki lampu lalu lintas, gundukan, dan belokan, kecepatannya akan bervariasi. Nah sekarang masalah yang sama menjadi kompleks, bagaimana menentukan jarak yang ditempuh oleh mobil pada saat tertentu yang sedang berjalan dengan kecepatan yang berbeda-beda?
Masalah ini memiliki solusi dalam kalkulus! Perpindahan total mobil dapat ditemukan dengan mengambil integral dari kecepatan mobil terhadap waktu.
Mari kita pertimbangkan grafik lain di mana kecepatan diplot terhadap waktu. Jika kita ingin mencari jarak yang ditempuh mobil dalam selang waktu t2− t1, maka jaraknya adalah kelajuan × waktu , yaitu luas daerah di bawah kurva antara dua titik t1 dan t2.
Untuk menurunkan luas kita menggunakan kalkulus integral. Jika kelajuan s adalah fungsi dari waktu t, yaitu S = F(t) maka dengan menggunakan integral kita dapat mencari luas bagian ini sebagai \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Untuk mencari luas di bawah kurva ini, kita menurunkan integrasi suatu fungsi. Bagaimana melakukannya akan Anda pelajari dalam pelajaran integral. Jika grafik ini memplot fungsi y = x 2 maka luas di bawah kurva untuk waktu t1= 1 sampai t2= 2 adalah \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (dengan C adalah konstanta) = 7/3
Integrasi adalah metode menjumlahkan atau menjumlahkan bagian-bagian untuk menemukan keseluruhan. Ini adalah proses diferensiasi terbalik, di mana kita mereduksi fungsi menjadi beberapa bagian. Integral digunakan untuk mencari penjumlahan dalam skala besar. Perhitungan soal penjumlahan kecil dapat dilakukan secara manual atau dengan kalkulator, tetapi untuk soal penjumlahan besar, yang limitnya bisa mencapai tak terhingga, digunakan metode integrasi.
Batas memungkinkan kita untuk memeriksa kecenderungan suatu fungsi di sekitar titik tertentu bahkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi pada titik tersebut. Mari kita lihat fungsinya di bawah ini.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Karena penyebutnya nol ketika x=1, f(1) tidak terdefinisi, namun, limitnya di x=1 ada dan menunjukkan bahwa nilai fungsi mendekati 2 di sana.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
